5.75 Determine (a) a distância
tal que a reação vertical do apoio
seja mínima,
as reações de apoio correspondentes.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede (dados extraídos da figura).
- A viga é apoiada em
(esquerda) e (direita) e o vão entre e vale . - Há duas cargas distribuídas triangulares que se encontram em um ponto situado a uma distância
de : - Do lado esquerdo: intensidade máxima em
de decrescendo linearmente até zero no ponto a de . - Do lado direito: intensidade zero no ponto a
de e crescendo linearmente até em .
- Do lado esquerdo: intensidade máxima em
- O enunciado pede:
(a) determinar a distânciatal que a reação vertical no apoio seja mínima;
(b) calcular as reações de apoio correspondentes (valores dee ).
Passo 2
Vamos calcular as cargas resultantes (forças equivalentes) de cada triângulo e as posições de suas aplicações (centroides). Relembrando as fórmulas úteis:
- Para uma carga triangular com altura máxima
e base : onde tem unidade de força (N). - A posição do centro de ação (baricentro) da carga triangular depende de onde está a intensidade máxima:
- Se a intensidade máxima está no extremo esquerdo (decrescendo até zero no direito), o baricentro está a
do extremo onde a intensidade é máxima. - Se a intensidade máxima está no extremo direito (crescendo do esquerdo), o baricentro está a
do extremo onde a intensidade é zero (isto é, a a partir do lado de intensidade zero, ou a a partir do extremo com intensidade máxima).
Essas posições vêm da definição de centro de massa/centroide de uma área triangular (pode-se obter por).
- Se a intensidade máxima está no extremo esquerdo (decrescendo até zero no direito), o baricentro está a
Aplicando isso ao problema:
- Para o triângulo esquerdo:
- base
, - altura
.
O pico está em (extremo esquerdo), portanto o baricentro está a - base
Passo 3
- Para o triângulo direito:
- base
, - altura em
é (intensidade zero no ponto a de e máxima em ).
Aqui a intensidade é zero na junta (lado esquerdo do triângulo) e máxima em (lado direito), então o baricentro está a a partir da extremidade de intensidade zero. Assim, a distância do baricentro até é - base
Passo 4
Agora escrevemos a equação do equilíbrio de momentos em torno de
para obter
. Tomando momentos positivos no sentido horário, a soma dos momentos das cargas em torno de
deve ser igual ao momento devido a
:
Substituindo
:
Calculemos cada termo:
Expandindo
:
Somando
:
Portanto
Passo 5
Queremos o valor de
que minimiza
. Como
é um polinômio quadrático, podemos derivar e igualar a zero:
Igualando a zero:
Verificação de mínimo: a segunda derivada é
, logo é mínimo local (e global para um quadrático convexo).
Agora calculemos as reações correspondentes para
.
Primeiro as cargas resultantes:
Primeiro as cargas resultantes:
Carga total:
Valor de
encontrado pelo polinômio:
Então
Podemos checar rapidamente com o momento em torno de
se desejar, mas os valores acima satisfazem equilíbrio de forças e momentos.
Passo 6
Resumo interpretativo rápido: a reação em
fica mínima quando a junta entre as duas cargas triangulares está a
de
. Nessa posição as duas cargas triangulares têm o mesmo resultado (900 N cada), e as reações de apoio são
e
.
Resposta
(a)
(b)
(b)