5.75 Determine (a) a distância a tal que a reação vertical do apoio B seja mínima, (b) as reações de apoio correspondentes.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede (dados extraídos da figura).
  • A viga é apoiada em A (esquerda) e B (direita) e o vão entre A e B vale 4\\ \text{m}.
  • Há duas cargas distribuídas triangulares que se encontram em um ponto situado a uma distância a de A:
    • Do lado esquerdo: intensidade máxima em A de 1800\\ \text{N/m} decrescendo linearmente até zero no ponto a a de A.
    • Do lado direito: intensidade zero no ponto a a de A e crescendo linearmente até 600\\ \text{N/m} em B.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a distância a tal que a reação vertical no apoio B seja mínima;
    (b) calcular as reações de apoio correspondentes (valores de R_A e R_B).

Passo 2

Vamos calcular as cargas resultantes (forças equivalentes) de cada triângulo e as posições de suas aplicações (centroides). Relembrando as fórmulas úteis:
  • Para uma carga triangular com altura máxima w_{\max} e base L: \text{resultante }W=\frac{1}{2}w_{\max}L,onde W tem unidade de força (N).
  • A posição do centro de ação (baricentro) da carga triangular depende de onde está a intensidade máxima:
    • Se a intensidade máxima está no extremo esquerdo (decrescendo até zero no direito), o baricentro está a \dfrac{L}{3} do extremo onde a intensidade é máxima.
    • Se a intensidade máxima está no extremo direito (crescendo do esquerdo), o baricentro está a \dfrac{2L}{3} do extremo onde a intensidade é zero (isto é, a \dfrac{2L}{3} a partir do lado de intensidade zero, ou a \dfrac{L}{3} a partir do extremo com intensidade máxima).
      Essas posições vêm da definição de centro de massa/centroide de uma área triangular (pode-se obter por \displaystyle x_{c}=\frac{\int x w(x)\,dx}{\int w(x)\,dx}).
Aplicando isso ao problema:
  • Para o triângulo esquerdo:
    • base L_1=a,
    • altura w_A=1800\\ \text{N/m}.
    W_1=\frac{1}{2}\cdot 1800\cdot a=900\,a.O pico está em A (extremo esquerdo), portanto o baricentro está a x_1=\frac{a}{3}\quad\text{medido a partir de }A.

Passo 3

  • Para o triângulo direito:
    • base L_2=4-a,
    • altura em B é w_B=600\\ \text{N/m} (intensidade zero no ponto a a de A e máxima em B).
    W_2=\frac{1}{2}\cdot 600\cdot(4-a)=300(4-a).Aqui a intensidade é zero na junta (lado esquerdo do triângulo) e máxima em B (lado direito), então o baricentro está a \dfrac{2L_2}{3} a partir da extremidade de intensidade zero. Assim, a distância do baricentro até A é x_2 = a + \frac{2(4-a)}{3} = \frac{a+8}{3}.

Passo 4

Agora escrevemos a equação do equilíbrio de momentos em torno de A para obter R_B. Tomando momentos positivos no sentido horário, a soma dos momentos das cargas em torno de A deve ser igual ao momento devido a R_B:
R_B\cdot 4 - W_1 x_1 - W_2 x_2 = 0.
Substituindo W_1,W_2,x_1,x_2:
R_B\cdot 4 - (900a)\left(\frac{a}{3}\right) - \big(300(4-a)\big)\left(\frac{a+8}{3}\right)=0.
Calculemos cada termo:
W_1 x_1 = 900a\cdot\frac{a}{3}=300a^2.
W_2 x_2 = 300(4-a)\cdot\frac{a+8}{3}=100(4-a)(a+8).
Expandindo 100(4-a)(a+8):
100(4-a)(a+8)=100(-a^2-4a+32)=-100a^2-400a+3200.
Somando W_1x_1+W_2x_2:
300a^2 + (-100a^2-400a+3200)=200a^2-400a+3200.
Portanto
R_B=\frac{200a^2-400a+3200}{4}=50a^2-100a+800.

Passo 5

Queremos o valor de a que minimiza R_B(a). Como R_B(a) é um polinômio quadrático, podemos derivar e igualar a zero:
\frac{dR_B}{da}=100a-100.
Igualando a zero:
100a-100=0 \quad\Rightarrow\quad a=1\\ \text{m}.
Verificação de mínimo: a segunda derivada é \dfrac{d^2R_B}{da^2}=100>0, logo é mínimo local (e global para um quadrático convexo).
Agora calculemos as reações correspondentes para a=1\\ \text{m}.
Primeiro as cargas resultantes:
W_1=900a=900\cdot 1=900\\ \text{N},
W_2=300(4-a)=300\cdot 3=900\\ \text{N}.
Carga total:
W=W_1+W_2=900+900=1800\\ \text{N}.
Valor de R_B encontrado pelo polinômio:
R_B(1)=50(1)^2-100(1)+800=50-100+800=750\\ \text{N}.
Então
R_A = W - R_B = 1800 - 750 = 1050\\ \text{N}.
Podemos checar rapidamente com o momento em torno de B se desejar, mas os valores acima satisfazem equilíbrio de forças e momentos.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido: a reação em B fica mínima quando a junta entre as duas cargas triangulares está a 1\\ \text{m} de A. Nessa posição as duas cargas triangulares têm o mesmo resultado (900 N cada), e as reações de apoio são R_A=1050\\ \text{N} e R_B=750\\ \text{N}.

Resposta

(a) a=1\\ \text{m}
(b) R_A=1050\\ \text{N}
R_B=750\\ \text{N}

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