H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=\left(2+3 x+x^{2}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(2+3x+x^{2}\right)^{5}
e pede para obter a derivada f'(x). Informações relevantes:
  • A função está escrita como uma potência de outra expressão (uma composição).
  • Precisamos diferenciar uma função composta do tipo “expoente inteiro” aplicada a um polinômio.
    A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Identificar as funções externa e interna da composição (isto é, escrever f como h\circ g):
  • Função interna: g(x)=2+3x+x^{2}.
  • Função externa: h(u)=u^{5}, onde usamos a variável genérica u para a função externa.
    Saber isso é essencial para aplicar a regra certa para derivar.

Passo 3

Apresentar e entender a regra que vamos usar: a Regra da Cadeia.
A Regra da Cadeia diz que, se f(x)=h(g(x)), então
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Ou seja: derivamos a função externa em relação a sua variável (substituindo u=g(x)) e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

Explicar a derivada da função externa h(u)=u^{5} (Regra do poderoso / regra da potência).
A Regra da Potência afirma que, para h(u)=u^{n} com n inteiro, temos
h'(u)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=5 obtemos
h'(u)=5u^{4}.
Aqui u representa g(x) quando aplicarmos a Regra da Cadeia.

Passo 5

Calcular a derivada da função interna g(x)=2+3x+x^{2}.
Derivada termo a termo: a derivada de uma constante é zero, a de 3x é 3, e a de x^{2} é 2x. Logo
g'(x)=3+2x.
Expliquei: derivar polinômio é só derivar cada termo e somar.

Passo 6

Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores.
Usando h'(u)=5u^{4} com u=g(x) e multiplicando por g'(x), obtemos
f'(x)=5\bigl(g(x)\bigr)^{4}\cdot g'(x).
Agora substituímos g(x)=2+3x+x^{2} e g'(x)=3+2x:
f'(x)=5\bigl(2+3x+x^{2}\bigr)^{4}\cdot(3+2x).

Passo 7

Fazer uma pequena simplificação de ordem e uma alternativa de escrita (opcional, mas útil na prova).
Podemos reescrever o fator linear 3+2x como 2x+3. Multiplicando o 5 dentro, outra forma é escrever
f'(x)=(10x+15)\bigl(2+3x+x^{2}\bigr)^{4},
pois 5(3+2x)=15+10x. Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na hora da prova.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando vir (\text{algo})^{n}, pense imediatamente em Regra da Cadeia + Regra da Potência. Derive o “algo” separadamente e multiplique no final. Isso economiza tempo e reduz erro.

Resposta

f'(x)=5\bigl(2+3x+x^{2}\bigr)^{4}\,(3+2x)

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