H. 144 Obter a derivada de cada função
dada abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para obter a derivada
. Informações relevantes:
- A função está escrita como uma potência de outra expressão (uma composição).
- Precisamos diferenciar uma função composta do tipo “expoente inteiro” aplicada a um polinômio.
A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Identificar as funções externa e interna da composição (isto é, escrever
como
):
- Função interna:
. - Função externa:
, onde usamos a variável genérica para a função externa.
Saber isso é essencial para aplicar a regra certa para derivar.
Passo 3
Apresentar e entender a regra que vamos usar: a Regra da Cadeia.
A Regra da Cadeia diz que, se , então
A Regra da Cadeia diz que, se
Ou seja: derivamos a função externa em relação a sua variável (substituindo
) e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 4
Explicar a derivada da função externa
(Regra do poderoso / regra da potência).
A Regra da Potência afirma que, para com
inteiro, temos
A Regra da Potência afirma que, para
Aplicando com
obtemos
Aqui
representa
quando aplicarmos a Regra da Cadeia.
Passo 5
Calcular a derivada da função interna
.
Derivada termo a termo: a derivada de uma constante é zero, a de é
, e a de
é
. Logo
Derivada termo a termo: a derivada de uma constante é zero, a de
Expliquei: derivar polinômio é só derivar cada termo e somar.
Passo 6
Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores.
Usando com
e multiplicando por
, obtemos
Usando
Agora substituímos
e
:
Passo 7
Fazer uma pequena simplificação de ordem e uma alternativa de escrita (opcional, mas útil na prova).
Podemos reescrever o fator linear como
. Multiplicando o
dentro, outra forma é escrever
Podemos reescrever o fator linear
pois
. Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na hora da prova.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando vir
, pense imediatamente em Regra da Cadeia + Regra da Potência. Derive o “algo” separadamente e multiplique no final. Isso economiza tempo e reduz erro.