H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=x^{2}\left(x+x^{4}\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}\left(x+x^{4}\right)\left(1+x+x^{3}\right).
Informações dadas:
  • A função é dada como produto de três fatores: \;x^{2},\; (x+x^{4}) e \;(1+x+x^{3}).
  • A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e direto: expandir o produto para obter um polinômio e então derivar termo a termo. Isso é muitas vezes mais rápido em prova e usa apenas a regra do poder (power rule) e a linearidade da derivada, que são conceitos básicos.

Passo 3

Primeiro expandimos \left(x+x^{4}\right)\left(1+x+x^{3}\right). Faço a multiplicação por partes:
Multiplicando x por cada termo de \left(1+x+x^{3}\right):
x\cdot(1+x+x^{3}) = x + x^{2} + x^{4}.
Multiplicando x^{4} por cada termo de \left(1+x+x^{3}\right):
x^{4}\cdot(1+x+x^{3}) = x^{4} + x^{5} + x^{7}.
Somando os dois resultados:
(x+x^{4})(1+x+x^{3}) = x + x^{2} + 2x^{4} + x^{5} + x^{7}.

Passo 4

Agora multiplicamos por x^{2} (o primeiro fator) para obter f(x) como polinômio:
f(x)=x^{2}\bigl(x + x^{2} + 2x^{4} + x^{5} + x^{7}\bigr).
Multiplicando termo a termo:
f(x)=x^{3} + x^{4} + 2x^{6} + x^{7} + x^{9}.

Passo 5

Relembrando a regra que vamos usar para derivar: a regra do poder diz que, para n real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x).

Passo 6

Aplicamos a derivada termo a termo em f(x)=x^{3}+x^{4}+2x^{6}+x^{7}+x^{9}:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{6}\bigr)=2\cdot 6x^{5}=12x^{5}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{7}\bigr)=7x^{6}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{9}\bigr)=9x^{8}.

Passo 7

Somando todas as derivadas obtidas temos:
f'(x)=3x^{2}+4x^{3}+12x^{5}+7x^{6}+9x^{8}.
Opcionalmente podemos fatorar x^{2} em evidência:
f'(x)=x^{2}\bigl(3+4x+12x^{3}+7x^{4}+9x^{6}\bigr).

Resposta

f'(x)=3x^{2}+4x^{3}+12x^{5}+7x^{6}+9x^{8}

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