H. 144 Obter a derivada de cada função
dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é dada como produto de três fatores:
e . - A pergunta é: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos escolher um método simples e direto: expandir o produto para obter um polinômio e então derivar termo a termo. Isso é muitas vezes mais rápido em prova e usa apenas a regra do poder (power rule) e a linearidade da derivada, que são conceitos básicos.
Passo 3
Primeiro expandimos
. Faço a multiplicação por partes:
Multiplicando
por cada termo de
:
Multiplicando
por cada termo de
:
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora multiplicamos por
(o primeiro fator) para obter
como polinômio:
Multiplicando termo a termo:
Passo 5
Relembrando a regra que vamos usar para derivar: a regra do poder diz que, para
real,
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
Passo 6
Aplicamos a derivada termo a termo em
:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 7
Somando todas as derivadas obtidas temos:
Opcionalmente podemos fatorar
em evidência: