H. 144 Obter a derivada de cada função
dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: obter a derivada da função
Informações dadas:
Objetivo final: calcular
, a derivada de
.
Passo 2
Escolha do método: podemos usar a regra do produto diretamente ou expandir o produto e depois derivar. Vou usar a regra do produto porque é direta e evita cálculos extras, e depois faço uma checagem expandindo para confirmar. A regra do produto diz:
onde
e
são as derivadas de
e
.
Passo 3
Identificamos as funções
e
:
Agora precisamos de
e
. Usamos duas regras básicas:
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra de potência:
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Expandimos o primeiro produto passo a passo:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 6
Agora expandimos o segundo produto:
Calculando:
Somando:
Passo 7
Somamos as duas parcelas que obtivemos para
:
Agrupando termos semelhantes:
Logo
Passo 8
Checagem rápida (opcional): se expandirmos
antes,
derivando termo a termo:
que coincide com o resultado acima. Tudo certo!