H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=\left(3 x^{2}+x\right)\left(1+x+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: obter a derivada da função
f(x)=\left(3x^{2}+x\right)\left(1+x+x^{3}\right).
Informações dadas:
f(x)= (3x^{2}+x)\,(1+x+x^{3}).
Objetivo final: calcular f'(x), a derivada de f.

Passo 2

Escolha do método: podemos usar a regra do produto diretamente ou expandir o produto e depois derivar. Vou usar a regra do produto porque é direta e evita cálculos extras, e depois faço uma checagem expandindo para confirmar. A regra do produto diz:
\text{se }f(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),ã
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.

Passo 3

Identificamos as funções u e v:
u(x)=3x^{2}+x,\qquad v(x)=1+x+x^{3}.
Agora precisamos de u'(x) e v'(x). Usamos duas regras básicas:
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Calcule u'(x):
u(x)=3x^{2}+x \Rightarrow u'(x)=3\cdot 2x^{1}+1\cdot x^{0}=6x+1.
Calcule v'(x):
v(x)=1+x+x^{3} \Rightarrow v'(x)=0+1+3x^{2}=1+3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(6x+1)(1+x+x^{3})+(3x^{2}+x)(1+3x^{2}).

Passo 5

Expandimos o primeiro produto passo a passo:
(6x+1)(1+x+x^{3})=(6x+1)\cdot 1+(6x+1)\cdot x+(6x+1)\cdot x^{3}.
Calculando cada termo:
(6x+1)\cdot 1=6x+1,
(6x+1)\cdot x=6x^{2}+x,
(6x+1)\cdot x^{3}=6x^{4}+x^{3}.
Somando:
(6x+1)(1+x+x^{3})=6x^{4}+x^{3}+6x^{2}+7x+1.

Passo 6

Agora expandimos o segundo produto:
(3x^{2}+x)(1+3x^{2})=(3x^{2}+x)\cdot 1+(3x^{2}+x)\cdot 3x^{2}.
Calculando:
(3x^{2}+x)\cdot 1=3x^{2}+x,
(3x^{2}+x)\cdot 3x^{2}=9x^{4}+3x^{3}.
Somando:
(3x^{2}+x)(1+3x^{2})=9x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x.

Passo 7

Somamos as duas parcelas que obtivemos para f'(x):
f'(x)=(6x^{4}+x^{3}+6x^{2}+7x+1)+(9x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x).
Agrupando termos semelhantes:
\begin{aligned} x^{4}:&\\\ 6+9=15,\\\ x^{3}:&\\\ 1+3=4,\\\ x^{2}:&\\\ 6+3=9,\\\ x^{1}:&\\\ 7+1=8,\\\ \text{constante}:&\\\ 1. \end{aligned}
Logo
f'(x)=15x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+8x+1.

Passo 8

Checagem rápida (opcional): se expandirmos f(x) antes,
f(x)=(3x^{2}+x)(1+x+x^{3})=3x^{5}+x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+x,
derivando termo a termo:
f'(x)=15x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+8x+1,
que coincide com o resultado acima. Tudo certo!

Resposta

15x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+8x+1

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