6.148 Um tanque isolado de volume
contém um gás ideal, que apresenta calor específico constante, a
e
. Uma válvula é aberta e o gás vaza até que a pressão interna atinje
. Determine
e a massa de gás que permaneceu no tanque, utilizando uma solução discretizada entre
e
. Resolva o mesmo problema com diferentes passos.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque rígido (volume constante
) contendo um gás ideal de calor específico constante (com razão de calores
), inicialmente em pressão
e temperatura
. Abre-se uma válvula e o gás vaza até que a pressão interna atinja
. Queremos determinar a temperatura final
e a massa remanescente
no tanque. Para isso vamos usar as leis de balanço de massa e de energia de sistema aberto e a equação de estado do gás ideal, levando a uma equação diferencial relacionando
e
. Em seguida apresentamos tanto a solução analítica (integração exata) quanto um procedimento de solução discretizada (integração numérica por passos em
).
Passo 2
Derivamos a relação diferencial entre
e
.
a) Balanço de massa no tanque (volume fixo):
a) Balanço de massa no tanque (volume fixo):
diferenciando,
b) Balanço de energia (controle de massa variável, sem calor nem trabalho de eixo):
onde
e
. Em forma diferencial:
(usando
).
c) Substituindo e
nas equações acima e simplificando, chega-se a
c) Substituindo
Passo 3
Integramos a relação para obter a solução exata entre
e
:
Logo,
E a massa remanescente no tanque é
Passo 4
Para a solução discretizada em
passos de pressão, definimos
e iteramos para
:
Começando com
, ao final
obtém-se aproximações de
e
. Repetindo com diferentes
observa-se convergência para os valores exatos acima.
Resposta
Temos as fórmulas analíticas
Para a solução numérica, usa-se o esquema iterativo do Passo 4 com subdivisões diferentes de
.