6.148 Um tanque isolado de volume V contém um gás ideal, que apresenta calor específico constante, a P_{1} e T_{1}. Uma válvula é aberta e o gás vaza até que a pressão interna atinje P_{2}. Determine T_{2} e a massa de gás que permaneceu no tanque, utilizando uma solução discretizada entre P_{1} e P_{2}. Resolva o mesmo problema com diferentes passos.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque rígido (volume constante V) contendo um gás ideal de calor específico constante (com razão de calores \gamma), inicialmente em pressão \,P_{1} e temperatura \,T_{1}. Abre-se uma válvula e o gás vaza até que a pressão interna atinja \,P_{2}. Queremos determinar a temperatura final \,T_{2} e a massa remanescente m_{2} no tanque. Para isso vamos usar as leis de balanço de massa e de energia de sistema aberto e a equação de estado do gás ideal, levando a uma equação diferencial relacionando \,T e \,P. Em seguida apresentamos tanto a solução analítica (integração exata) quanto um procedimento de solução discretizada (integração numérica por passos em \,P).

Passo 2

Derivamos a relação diferencial entre T e P.
a) Balanço de massa no tanque (volume fixo):
P\,V = m\,R\,T \quad\Rightarrow\quad m = \frac{P\,V}{R\,T}
diferenciando,
dm = \frac{V}{R\,T}\,dP \;-\;\frac{P\,V}{R\,T^{2}}\,dT.
b) Balanço de energia (controle de massa variável, sem calor nem trabalho de eixo):
\frac{d}{dt}(m\,u) = -\dot m\,h_{\rm out},
onde u = c_{v}T e h = c_{p}T. Em forma diferencial:
m\,c_{v}\,dT + c_{v}\,T\,dm = -c_{p}\,T\,dm \;\Longrightarrow\; m\,c_{v}\,dT = -R\,T\,dm
(usando c_{p}-c_{v}=R).
c) Substituindo m e dm nas equações acima e simplificando, chega-se a
\frac{dT}{T} \;=\;\frac{\gamma-1}{\gamma-2}\,\frac{dP}{P}.

Passo 3

Integramos a relação para obter a solução exata entre (P_{1},T_{1}) e (P_{2},T_{2}):
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dT}{T} =\frac{\gamma-1}{\gamma-2}\, \int_{P_{1}}^{P_{2}}\frac{dP}{P} \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\biggl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\biggr) =\frac{\gamma-1}{\gamma-2}\,\ln\!\biggl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\biggr).
Logo,
T_{2} = T_{1}\, \Bigl(\tfrac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma-1}{\gamma-2}}.
E a massa remanescente no tanque é
m_{2} = \frac{P_{2}\,V}{R\,T_{2}}.

Passo 4

Para a solução discretizada em \,N passos de pressão, definimos
\Delta P = \frac{P_{2}-P_{1}}{N},
e iteramos para k=0,1,\dots,N-1:
P_{k+1} = P_{k} + \Delta P,
T_{k+1} = T_{k} \;\Bigl[\,1 + \tfrac{\gamma-1}{\gamma-2}\,\tfrac{\Delta P}{P_{k}}\Bigr],
m_{k+1} = \frac{P_{k+1}\,V}{R\,T_{k+1}}.
Começando com P_{0}=P_{1},\,T_{0}=T_{1},\,m_{0}=P_{1}V/(R\,T_{1}), ao final k=N obtém-se aproximações de T_{2} e m_{2}. Repetindo com diferentes N observa-se convergência para os valores exatos acima.

Resposta

Temos as fórmulas analíticas
T_{2} = T_{1}\, \Bigl(\tfrac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma-1}{\gamma-2}}, \qquad m_{2} = \frac{P_{2}\,V}{R\,T_{2}}.
Para a solução numérica, usa-se o esquema iterativo do Passo 4 com subdivisões diferentes de \Delta P.

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