Uma casca cilíndrica infinitamente longa e espessa de raio interno b e raio externo a carrega uma corrente I uniformemente distribuida na seção transversal da casca. Encontre o campo magnético para r<b.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca cilíndrica infinita de raio interno b e raio externo a que carrega uma corrente I uniformemente distribuída na região b \le r \le a. Queremos o campo magnético \mathbf{B}(r) para r<b. Pelo princípio de simetria, \mathbf{B}(r) será azimutal (circulante em círculos concêntricos) e depende só de r. Vamos usar a lei de Ampère para determiná-lo.

Passo 2

A lei de Ampère em sua forma integral diz que, para um caminho fechado C circular de raio r,
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total penetrando a superfície limitada por C. Pela simetria, \mathbf{B} é tangencial e de módulo constante ao longo de C, então
B(r)\,(2\pi r) = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.

Passo 3

Para r<b, a circunferência de raio r está inteiramente dentro da região oca da casca, ou seja, não envolve nenhuma corrente. Portanto,
I_{\text{enc}} = 0 \quad\text{se}\quad r<b.

Passo 4

Substituindo em Ampère:
B(r)\,(2\pi r) = \mu_{0}\cdot 0 \quad\Longrightarrow\quad B(r) = 0 \quad\text{para}\quad r<b.

Resposta

Para r<b, o campo magnético é
\boxed{B(r)=0}.

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