15.4 The zero of the function
F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)(s+4)}
is at
(a) -4
(b) -3
(c) -2
(d) -1

Passo 1

O enunciado dá a função
F(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)(s+4)}
e pergunta qual é a raiz (zero) dessa função, oferecendo as alternativas:
(a) -4
(b) -3
(c) -2
(d) -1.
Informações relevantes dadas:
\;1. O numerador é (s+1).
\;2. O denominador é (s+2)(s+3)(s+4).
\;3. Temos quatro opções possíveis listadas acima.

Passo 2

O que significa “zero” da função?
Um número \,s_0 é zero (ou raiz) de uma função F(s) quando
F(s_0)=0.
Para uma função racional escrita como \displaystyle F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}, onde N(s) e D(s) são polinômios, isso normalmente acontece quando N(s_0)=0 e D(s_0)\neq 0. Ou seja, o numerador se anula enquanto o denominador não se anula (se o denominador também anula, a expressão pode ser indefinida ou ter uma descontinuidade removível — daí é preciso verificar).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o numerador é (s+1). Para achar onde o numerador se anula, resolvemos
s+1=0.

Passo 4

Resolvendo a equação do numerador:
s+1=0 \implies s=-1.
Então s=-1 é um candidato a zero da função.

Passo 5

Agora precisamos garantir que o denominador não zere em s=-1. Calculamos o denominador em s=-1:
(s+2)(s+3)(s+4)\Big|_{s=-1}=(-1+2)(-1+3)(-1+4)=(1)(2)(3)=6.
Como 6\neq 0, o denominador não se anula em s=-1. Portanto F(-1)=0 e s=-1 é de fato uma raiz da função.

Passo 6

Por que as outras alternativas não são raízes?
  • Para s=-2, s=-3 ou s=-4 o denominador zera (pois são raízes de (s+2)(s+3)(s+4)), então F(s) fica indefinida nesses pontos — são singularidades (pontos de descontinuidade / pólos), não zeros, a menos que o numerador também zere ali (o que não ocorre aqui). Logo essas opções não são zeros.

Passo 7

Conclusão e dica prática para a prova: para encontrar zeros de funções racionais, primeiro iguale o numerador a zero e resolva; sempre verifique que o denominador não anula nesse valor. Se cancelar fatores comuns entre numerador e denominador antes, lembre-se de que pode haver uma descontinuidade removível no ponto cancelado — então verifique a forma original.

Resposta

(d) -1

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