15.2 The variable s in the Laplace transform H(s) is called
(a) complex frequency
(b) transfer function
(c) zero
(d) pole

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o nome da variável s na expressão da transformada de Laplace H(s). As alternativas são:
(a) complex frequency
(b) transfer function
(c) zero
(d) pole

Passo 2

Primeiro, recordar o que significa escrever uma transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função causal f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui s aparece dentro do expoente e^{-s t}. Vou explicar o que isso implica sobre o papel de s.

Passo 3

A variável s é, em geral, um número complexo que escrevemos como
s = \sigma + j\omega,
onde \sigma é a parte real e \omega é a parte imaginária (com j sendo a unidade imaginária). Substituindo em e^{-s t} temos
e^{-s t} = e^{-(\sigma + j\omega)t} = e^{-\sigma t}\,e^{-j\omega t}.
Isso mostra duas coisas: e^{-\sigma t} regula crescimento/decaimento exponencial (parte real) e e^{-j\omega t} produz oscilações (parte imaginária). Por isso s está ligado a comportamento em frequência e amortecimento.

Passo 4

Explicar rapidamente o que são as outras alternativas para não confundir:
  • A expressão H(s) é chamada de “transfer function” (função de transferência): é a função que relaciona entrada e saída no domínio de Laplace. Logo, a função de transferência é H(s) inteira, não a variável s.
  • Um “zero” é um valor particular de s que faz H(s)=0 (raiz do numerador da função). Então zero é um valor de s, não o próprio s em geral.
  • Um “pole” é um valor particular de s que faz H(s) tender a infinito (raiz do denominador). Também é um valor específico de s, não o nome da variável.

Passo 5

Voltando: a variável s representa precisamente essa combinação de decaimento/amortecimento ( \sigma) e frequência angular ( \omega). Por isso em português e em inglês costuma-se chamar s de “frequência complexa” ou “complex frequency”. É o termo que descreve tanto a parte real quanto a parte imaginária que atuam sobre a resposta temporal.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar: para
H(s)=\frac{1}{s+a},
temos um polo em s=-a (um valor específico de s). Mas o próprio s continua sendo a variável complexa que controla frequência e amortecimento — ou seja, a “complex frequency”.

Resposta

(a)

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