15.12 Obtenha a série de trigonométrica de Fourier de f(x)=1,-\pi \leq x \leq+\pi.

Passo 1

O enunciado pede a série trigonométrica de Fourier de f(x)=1 no intervalo -\pi\le x\le \pi com período 2\pi. Para isso, vamos usar as fórmulas dos coeficientes:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0. Como f(x)=1,
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = \frac{1}{\pi}\,(2\pi) = 2.
Logo \tfrac{a_0}{2}=1.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1. Temos
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{\sin(nx)}{n}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 0,
pois \sin(n\pi)=0.

Passo 4

Calcular b_n para n\ge1. Temos
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl[-\tfrac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 0,
já que \cos(n\pi)=(-1)^n e o termo se anula.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f é
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) = 1.

Resposta

a_0=2,\quad a_n=0,\quad b_n=0\quad(\forall n\ge1),
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f(x)=1.

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