15.14 Seja
F(t)= \begin{cases}F_{0}, & 0 \leq t<\frac{T}{2} \\\\ 0, & \frac{T}{2}<t \leq T\end{cases}
onde F_{0} é uma constante. Obtenha os coeficientes c_{n} de Fourier da série
F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\frac{2 \pi i n t}{T}}

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período T\) que vale \[F(t)= \begin{cases} F_{0}, & 0 \le t<\tfrac{T}{2},\\\\ 0, & \tfrac{T}{2}<t\le T, \end{cases}
e pede os coeficientes (c_{n}] da série exponencial
F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\,\mathrm{e}^{\frac{2\pi i n t}{T}}.
Vamos usar a fórmula geral de coeficiente da série de Fourier exponencial.

Passo 2

A fórmula para c_{n} é
c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t.
Como F(t) é não nula apenas em 0\le t<\tfrac{T}{2}, isso vira
c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}F_{0}\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t =\frac{F_{0}}{T}\int_{0}^{T/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Para n\neq 0 a integral de \mathrm{e}^{-a t} é
\int_{0}^{T/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t =\Bigl[-\frac{T}{2\pi i n}\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\Bigr]_{0}^{T/2} =-\frac{T}{2\pi i n}\Bigl(e^{-\,\pi i n}-1\Bigr).
Logo
c_{n} =\frac{F_{0}}{T}\,\Bigl(-\frac{T}{2\pi i n}\Bigr)\bigl(e^{-\,\pi i n}-1\bigr) =\frac{F_{0}}{2\pi i n}\bigl(1-e^{-\,\pi i n}\bigr).

Passo 4

Como e^{-\,\pi i n}=(-1)^{n}, temos para n\neq 0
c_{n} =\frac{F_{0}}{2\pi i n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Note que se n é par, 1-(-1)^{n}=0, e se n é ímpar, 1-(-1)^{n}=2.

Passo 5

Para n=0 basta calcular a média
c_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)\,\mathrm{d}t =\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}F_{0}\,\mathrm{d}t =\frac{F_{0}}{2}.
Para n\neq 0:
\begin{cases} c_{2m}=0,\\\ c_{2m+1} =\displaystyle\frac{F_{0}}{2\pi i (2m+1)}\cdot2 =\frac{F_{0}}{\pi i\,(2m+1)}. \end{cases}

Resposta

c_{0}=\displaystyle\frac{F_{0}}{2},
c_{n}=\frac{F_{0}}{2\pi i n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) \quad(n\neq0),
ou seja
c_{2m}=0, \qquad c_{2m+1}=\frac{F_{0}}{\pi i\,(2m+1)}.

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