onde F_{0} é uma constante. Obtenha os coeficientes c_{n} de Fourier da série
F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\frac{2 \pi i n t}{T}}
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período T\) que vale
\[F(t)= \begin{cases} F_{0}, & 0 \le t<\tfrac{T}{2},\\\\ 0, & \tfrac{T}{2}<t\le T, \end{cases}
e pede os coeficientes (c_{n}] da série exponencial F(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\,\mathrm{e}^{\frac{2\pi i n t}{T}}.
Vamos usar a fórmula geral de coeficiente da série de Fourier exponencial.
Passo 2
A fórmula para c_{n} é
c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t.
Como F(t) é não nula apenas em 0\le t<\tfrac{T}{2}, isso vira
c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T/2}F_{0}\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t =\frac{F_{0}}{T}\int_{0}^{T/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t.
Passo 3
Para n\neq 0 a integral de \mathrm{e}^{-a t} é
\int_{0}^{T/2}\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\,\mathrm{d}t =\Bigl[-\frac{T}{2\pi i n}\,\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i n t}{T}}\Bigr]_{0}^{T/2} =-\frac{T}{2\pi i n}\Bigl(e^{-\,\pi i n}-1\Bigr).
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c_{n} =\frac{F_{0}}{T}\,\Bigl(-\frac{T}{2\pi i n}\Bigr)\bigl(e^{-\,\pi i n}-1\bigr) =\frac{F_{0}}{2\pi i n}\bigl(1-e^{-\,\pi i n}\bigr).
Passo 4
Como e^{-\,\pi i n}=(-1)^{n}, temos para n\neq 0
c_{n} =\frac{F_{0}}{2\pi i n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).
Note que se n é par, 1-(-1)^{n}=0, e se n é ímpar, 1-(-1)^{n}=2.