15.13 Ache a série trigonométrica de Fourier (isto é: a série em senos e cossenos) de
f(x)= \begin{cases}0, & -1 \leq x<0 \\\ x, & 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série trigonométrica de Fourier de período 2\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0,&-1\le x<0,\\\ x,&0\le x\le1. \end{cases}
O conteúdo é a expansão em senos e cossenos num intervalo simétrico [-1,1]\] (ou seja, \(L=1). Para isso usamos as fórmulas
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Como f(x)=0 em [-1,0) e f(x)=x em [0,1],
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12.
Na série aparece a_0/2=\tfrac14.

Passo 3

Para n\ge1,
a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\cos(n\pi x)\,dx, obtemos
a_n =\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.

Passo 4

Para n\ge1,
b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
De novo por partes com u=x, dv=\sin(n\pi x)\,dx, vem
b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 5

Substituindo na forma geral
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr]
temos
f(x) =\frac14 +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x) +\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi x) \right].

Resposta

f(x) =\frac14 +\sum_{n=1}^{\infty}\!\Biggl( \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\,\cos(n\pi x) \;+\;\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\,\sin(n\pi x) \Biggr).

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