15.15 Obtenha a série trigonométrica de Fourier de
f(x)= \begin{cases}0, & -1 \leq x<0 \\\\ 1, & 0<x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série trigonométrica de Fourier da função periódica f\) de período \(2\) definida em \([-1,1]\) por \[f(x)= \begin{cases} 0,&-1\le x<0,\\\\ 1,&0<x\le1. \end{cases}
O método envolve usar (L=1] (metade do período), e calcular
a_0,\quad a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Calcule a_0:
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}1\,dx=1,
portanto o termo constante na série é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Calcule a_n para n\ge1:
a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{1} =\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0.

Passo 4

Calcule b_n para n\ge1:
b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx =\left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{1} =\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
Logo b_n=0 se n é par, e se n=2k-1 for ímpar então
b_{2k-1}=\frac{1-(-1)^{2k-1}}{(2k-1)\pi} =\frac{2}{(2k-1)\pi}.

Passo 5

Substituindo em
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr)
vem
f(x)=\frac12+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{(2k-1)\pi}\,\sin\bigl((2k-1)\pi x\bigr).

Resposta

f(x)=\frac12+\frac{2}{\pi}\Bigl(\sin(\pi x)+\frac{\sin(3\pi x)}{3}+\frac{\sin(5\pi x)}{5}+\cdots\Bigr).

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