15-36 Encontre o limite.
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Passo 1
O enunciado pede que se calculem os dois limites (assumindo que o ponto de limite é
, conforme o contexto):
- Problema 33: calcular
. - Problema 35: calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As expressões que aparecem são
, e . - O comportamento conhecido (que vamos usar) é que
quando e portanto quando . - A função
é limitada: para todo vale .
Passo 2
Resolvendo o problema 33. Primeiro, observe que tanto o numerador quanto o denominador contêm termos com
, que cresce muito quando
. Uma maneira robusta de lidar com isso é dividir numerador e denominador por
(que é positivo e não nulo para todo
) para “fatorar” a grandeza dominante.
Escrevendo:
Aqui dividimos cada termo por
: o
vira
e o
vira
.
Passo 3
Agora usamos o limite
quando
. Substituindo esse comportamento na expressão obtida,
Portanto o limite do problema 33 é
.
Explicação didática curta: quando termos com
dominam numerador e denominador, dividir por
permite ver que os termos que não crescem (como
) viram negligíveis (
), ficando apenas a razão entre os coeficientes dos termos dominantes.
Passo 4
Resolver o problema 35. A expressão é
. Note duas propriedades úteis:
-
é limitada: para todo vale . -
para todo e quando .
Multiplicando a desigualdade da cosseno por
(quantidade positiva), obtemos
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Sabendo que
e que
está preso entre essas duas funções, conclui-se que
Intuição didática: o fator
decai exponencialmente para zero e domina qualquer oscilação limitada de
; multiplicando um oscilador limitado por algo que vai a zero faz o produto ir a zero.