15-36 Encontre o limite.
  1. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{x}}{1+2 e^{x}}
  2. \lim \left(\mathrm{e}^{-2 x} \cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calculem os dois limites (assumindo que o ponto de limite é x\to\infty, conforme o contexto):
  • Problema 33: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}}.
  • Problema 35: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(e^{-2x}\cos x\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As expressões que aparecem são \,1-e^{x}, \,1+2e^{x} e \,e^{-2x}\cos x.
  • O comportamento conhecido (que vamos usar) é que \,e^{x}\to\infty quando x\to\infty e portanto \,e^{-x}\to0 quando x\to\infty.
  • A função \cos x é limitada: para todo x vale -1\le\cos x\le 1.

Passo 2

Resolvendo o problema 33. Primeiro, observe que tanto o numerador quanto o denominador contêm termos com e^{x}, que cresce muito quando x\to\infty. Uma maneira robusta de lidar com isso é dividir numerador e denominador por e^{x} (que é positivo e não nulo para todo x) para “fatorar” a grandeza dominante.
Escrevendo:
\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}} = \frac{\dfrac{1}{e^{x}} - 1}{\dfrac{1}{e^{x}} + 2}.
Aqui dividimos cada termo por e^{x}: o 1 vira \dfrac{1}{e^{x}} e o e^{x} vira 1.

Passo 3

Agora usamos o limite \dfrac{1}{e^{x}}\to 0 quando x\to\infty. Substituindo esse comportamento na expressão obtida,
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{e^{x}} - 1}{\dfrac{1}{e^{x}} + 2} = \frac{0 - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2}.
Portanto o limite do problema 33 é -\dfrac{1}{2}.
Explicação didática curta: quando termos com e^{x} dominam numerador e denominador, dividir por e^{x} permite ver que os termos que não crescem (como 1) viram negligíveis ( 1/e^{x}\to 0), ficando apenas a razão entre os coeficientes dos termos dominantes.

Passo 4

Resolver o problema 35. A expressão é \,e^{-2x}\cos x. Note duas propriedades úteis:
  1. \cos x é limitada: para todo x vale -1\le \cos x\le 1.
  2. e^{-2x}>0 para todo x e \,e^{-2x}\to 0 quando x\to\infty.
Multiplicando a desigualdade da cosseno por e^{-2x} (quantidade positiva), obtemos
- e^{-2x} \le e^{-2x}\cos x \le e^{-2x}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Sabendo que
\lim_{x\to\infty} (-e^{-2x}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty} e^{-2x} = 0,
e que e^{-2x}\cos x está preso entre essas duas funções, conclui-se que
\lim_{x\to\infty} e^{-2x}\cos x = 0.
Intuição didática: o fator e^{-2x} decai exponencialmente para zero e domina qualquer oscilação limitada de \cos x; multiplicando um oscilador limitado por algo que vai a zero faz o produto ir a zero.

Resposta

  1. -\dfrac{1}{2}
  2. 0

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