15-36 Encontre o limite.
  1. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}
  2. \lim \left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e as informações dadas.
  • Item 24: calcular \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.
  • Item 26: vou interpretar que o enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\bigl(x+\sqrt{x^{2}+2x}\bigr). (Se o enunciado original pedisse outro sentido, a resposta muda; para x\to+\infty a expressão diverge para +\infty.)
Informações úteis que já vemos:
  • Em ambos os limites aparece comportamento quando |x| é grande; vamos usar fatoração por potências de x e propriedades da raiz quadrada.
  • Atenção com sinais: \sqrt{\cdot} é sempre não negativa e aparece a razão entre potências ímpares de x (como x^{3}), então aparecerá o valor absoluto |x^{3}| em manipulações.

Passo 2

(Explicação geral útil antes de mexer nas contas) Técnica padrão para esses limites quando x\to\pm\infty:
  • Fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz para deixar um fator tipo |x|^{k} multiplicando uma raiz de algo que tende a constante.
  • Usar que \sqrt{a^{2}b}=|a|\sqrt{b}.
  • Lembrar que, para x\to -\infty, temos |x|=-x e, portanto, para potências ímpares, |x^{3}|=-x^{3} porque x^{3}<0.
    Também vou exemplificar quando usar a racionalização por conjugado: para expressões do tipo x+\sqrt{\cdot} que dão forma indeterminada (-\infty)\cdot 0, multiplicar por \dfrac{\sqrt{\cdot}-x}{\sqrt{\cdot}-x} simplifica.

Passo 3

Resolver o item 24 passo a passo.
Primeiro, fatoramos x^{6} dentro da raiz:
\sqrt{9x^{6}-x} = \sqrt{x^{6}\left(9-\dfrac{1}{x^{5}}\right)} = |x^{3}|\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}.
Explicação: usei \sqrt{a^2 b}=|a|\sqrt{b} com a=x^3 e b=9-\dfrac{1}{x^5}. Note que |x^3|=|x|^3.
Agora reescrevo a fração:
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1} = \frac{|x^{3}|\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1}.
Para x\to -\infty temos x^{3}\to -\infty (ou seja, x^{3}<0), então |x^{3}|=-x^{3}. Substituindo:
\frac{|x^{3}|\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1} = \frac{-x^{3}\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}\!\left(1+\dfrac{1}{x^{3}}\right)} = \frac{-\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Aqui dividi numerador e denominador por x^{3} (válido pois x^{3}\neq0 para x\to -\infty).
Agora passo ao limite: quando x\to -\infty temos \dfrac{1}{x^{5}}\to0 e \dfrac{1}{x^{3}}\to0. Portanto a expressão tende a
\frac{-\sqrt{9-0}}{1+0} = -\sqrt{9} = -3.",

Resposta

-3
-1

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