15-36 Encontre o limite.
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Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e as informações dadas.
- Item 24: calcular
. - Item 26: vou interpretar que o enunciado pede
. (Se o enunciado original pedisse outro sentido, a resposta muda; para a expressão diverge para .)
Informações úteis que já vemos:
- Em ambos os limites aparece comportamento quando
é grande; vamos usar fatoração por potências de e propriedades da raiz quadrada. - Atenção com sinais:
é sempre não negativa e aparece a razão entre potências ímpares de (como ), então aparecerá o valor absoluto em manipulações.
Passo 2
(Explicação geral útil antes de mexer nas contas) Técnica padrão para esses limites quando
:
- Fatorar a maior potência de
que aparece dentro da raiz para deixar um fator tipo multiplicando uma raiz de algo que tende a constante. - Usar que
. - Lembrar que, para
, temos e, portanto, para potências ímpares, porque .
Também vou exemplificar quando usar a racionalização por conjugado: para expressões do tipoque dão forma indeterminada , multiplicar por simplifica.
Passo 3
Resolver o item 24 passo a passo.
Primeiro, fatoramos
dentro da raiz:
Explicação: usei
com
e
. Note que
.
Agora reescrevo a fração:
Para
temos
(ou seja,
), então
. Substituindo:
Aqui dividi numerador e denominador por
(válido pois
para
).
Agora passo ao limite: quando
temos
e
. Portanto a expressão tende a