15.50 Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2} v(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d v(t)}{d t}+10 v(t)=3 \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial
\frac{d^{2}v(t)}{dt^{2}} \;+\;2\,\frac{dv(t)}{dt}\;+\;10\,v(t)\;=\;3\cos(2t).
Você precisa aplicar a transformada de Laplace em cada termo, usar as fórmulas \mathcal L\{v'(t)\}=sV(s)-v(0) e \mathcal L\{v''(t)\}=s^2V(s)-s\,v(0)-v'(0),
assumir condições iniciais nulas v(0)=0, v'(0)=0, e depois inverter para obter v(t).

Passo 2

Aplico a transformada em ambos os lados. Como v(0)=v'(0)=0,
\mathcal L\{v''\} = s^2V(s), \quad \mathcal L\{v'\} = s\,V(s), \quad \mathcal L\{v\} = V(s),
e
\mathcal L\{3\cos(2t)\} = \frac{3\,s}{s^2+4}.
Logo,
s^2V(s) \;+\;2\bigl(sV(s)\bigr)\;+\;10V(s) \;=\; \frac{3s}{s^2+4}.
Agrupando em V(s),
\bigl(s^2+2s+10\bigr)\,V(s) \;=\; \frac{3s}{s^2+4}.

Passo 3

Isolo V(s):
V(s) =\; \frac{3s}{(s^2+4)\,(s^2+2s+10)}.

Passo 4

Faço frações parciais no formato
\frac{3s}{(s^2+4)(s^2+2s+10)} = \frac{A\,s+B}{s^2+4} \;+\; \frac{C\,s+D}{s^2+2s+10}.
Igualando numeradores e resolvendo o sistema, obtém­se
A=\tfrac{9}{26},\quad B=\tfrac{6}{13},\quad C=-\tfrac{9}{26},\quad D=-\tfrac{15}{13}.
Logo
V(s) = \frac{\tfrac{9}{26}\,s+\tfrac{6}{13}}{s^2+4} \;+\; \frac{-\tfrac{9}{26}\,s-\tfrac{15}{13}}{s^2+2s+10}.

Passo 5

Reescrevo a segunda fração completando o quadrado em s^2+2s+10=(s+1)^2+3^2. Depois aplico as inversas
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+4}\Bigr\}=\cos(2t), \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+4}\Bigr\}=\tfrac12\sin(2t),
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^2+9}\Bigr\}=e^{-t}\cos(3t), \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^2+9}\Bigr\}=\tfrac{1}{3}e^{-t}\sin(3t).
Fazendo isso, chega­se a
v(t) = \frac{9}{26}\cos(2t) \;+\;\frac{3}{13}\sin(2t) \;-\;\frac{9}{26}e^{-t}\cos(3t) \;-\;\frac{7}{26}e^{-t}\sin(3t).

Resposta

v(t) = \frac{9}{26}\cos(2t) \;+\;\frac{3}{13}\sin(2t) \;-\;\frac{9}{26}e^{-t}\cos(3t) \;-\;\frac{7}{26}e^{-t}\sin(3t).

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