15.6 Determine F(s) dado que
f(t)= \begin{cases}5 t, & 0<t<1 \\ -5 t, & 1<t<2 \\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt
para a função em partes
f(t)= \begin{cases} 5t, & 0<t<1,\\\\ -5t, & 1<t<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Vamos dividir a integral em dois trechos: de 0 a 1 e de 1 a 2, pois fora desse intervalo f(t)=0.

Passo 2

Calculamos
\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}\,dt =5\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt.
Para \displaystyle\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt usamos a fórmula conhecida
\int_{0}^{a}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-sa}(1+sa)}{s^2}.
Com a=1 vem
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2},
logo
\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}\,dt =5\,\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2}.

Passo 3

Agora o trecho de 1 a 2:
\int_{1}^{2}-5t\,e^{-st}\,dt =-5\int_{1}^{2}t\,e^{-st}\,dt.
Escrevemos
\int_{1}^{2}t\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt -\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt.
Pela mesma fórmula, para a=2
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-2s}(1+2s)}{s^2},
e já temos \int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt=\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2}.
Logo
\int_{1}^{2}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1 - e^{-2s}(1+2s)}{s^2} -\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2} =\frac{e^{-s}(1+s)-e^{-2s}(1+2s)}{s^2}.
Multiplicando por -5 temos
\int_{1}^{2}-5t\,e^{-st}\,dt =5\,\frac{e^{-2s}(1+2s)-e^{-s}(1+s)}{s^2}.

Passo 4

Somando os dois trechos da transformada:
F(s) =\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}\,dt +\int_{1}^{2}-5t\,e^{-st}\,dt =5\,\frac{1 - e^{-s}(1+s)}{s^2} +5\,\frac{e^{-2s}(1+2s)-e^{-s}(1+s)}{s^2}.
Agrupando termos dá
F(s) =\frac{5}{s^2}\Bigl[1 -2e^{-s}(1+s) +e^{-2s}(1+2s)\Bigr].

Resposta

F(s) =\frac{5}{s^2}\bigl[\,1-2e^{-s}(1+s)+e^{-2s}(1+2s)\bigr].

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