15.10 De duas formas diferentes, determine a transformada de Laplace de
g(t)=\frac{d}{d t}\left(t e^{-t} \cos t\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
g(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-t}\cos t\bigr).
O conteúdo principal é a transformada de Laplace e as propriedades
  1. da derivada no domínio do tempo, isto é
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=s\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)-f(0),
  1. da transformação de t vezes uma função (derivada em s),
    e 3) das transformadas de e^{-t}\cos t e e^{-t}\sin t.

Passo 2

Método 1 – usamos a propriedade da derivada. Definimos
f(t)=t e^{-t}\cos t,
então
g(t)=f'(t) \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=s\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)-f(0).
Como f(0)=0, segue
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=s\,F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{t e^{-t}\cos t\}(s).

Passo 3

Ainda no Método 1, calculamos
F(s) =\int_{0}^{\infty}t e^{-(s+1)t}\cos t\,dt.
Usamos a fórmula
\int_{0}^{\infty}t e^{-a t}\cos(b t)\,dt =\frac{a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}},
com a=s+1 e b=1. Logo,
F(s) =\frac{(s+1)^{2}-1}{\bigl((s+1)^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{s^{2}+2s}{\bigl((s+1)^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Aplicando \mathcal{L}\{g\}(s)=s\,F(s) obtemos
\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =s\;\frac{s^{2}+2s}{\bigl((s+1)^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{s^{2}(s+2)}{(s^{2}+2s+2)^{2}}.

Passo 5

Método 2 – derivamos explicitamente
g(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t e^{-t}\cos t\bigr) =e^{-t}\cos t -t\,e^{-t}(\cos t+\sin t).

Passo 6

Ainda no Método 2, separamos
g(t)=e^{-t}\cos t -\,t\,e^{-t}\cos t -\,t\,e^{-t}\sin t
e usamos as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\} =\frac{s+1}{s^{2}+2s+2}, \quad \mathcal{L}\{t e^{-t}\cos t\} =\frac{(s+1)^{2}-1}{(s^{2}+2s+2)^{2}}, \quad \mathcal{L}\{t e^{-t}\sin t\} =\frac{2(s+1)}{(s^{2}+2s+2)^{2}}.

Passo 7

Somando os termos no Método 2 e colocando sobre o mesmo denominador (s^{2}+2s+2)^{2}, obtém-se
\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\frac{s^{2}(s+2)}{(s^{2}+2s+2)^{2}},
igual ao resultado do Método 1.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\frac{s^{2}(s+2)}{(s^{2}+2s+2)^{2}}.

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