8.15 O aquecedor de uma casa extrai calor no inverno do ar externo que está frio, o aquece c o libera no interior da casa. Para a transferência de uma dada quantidade de calon, (a) como as entropias do interior e do exterior da casa mudam (aumentam ou diminuem)? (b) Qual é a maior variação? Suponha que as temperaturas, interna c externa, não variam. Explique suas respostas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Para a transferência de uma dada quantidade de calor, como mudam as entropias do interior e do exterior da casa — aumentam ou diminuem?
    2. Qual dessas variações (em módulo) é maior?
  • Informações relevantes fornecidas (assumir convenções óbvias):
    • Há uma transferência de calor entre o exterior (mais frio) e o interior (mais quente).
    • A temperatura interna é constante e vale \,T_{\text{in}}.
    • A temperatura externa é constante e vale \,T_{\text{out}}.
    • Assume-se \,T_{\text{in}}>T_{\text{out}}.
    • Seja \,Q a quantidade de calor que sai do exterior e chega ao interior. Adote a convenção \,Q>0 para a quantidade de calor transferida do exterior para o interior (ou seja, o interior recebe \,Q e o exterior perde \,Q).

Passo 2

Explicação didática do conceito que vou usar: definição prática de entropia para trocas de calor.
  • Para um corpo-tanque (reservatório) que troca uma quantidade finita de calor \,Q de forma (quase) reversível a temperatura constante \,T, a variação de entropia é dada por
\Delta S=\frac{Q}{T}.
  • Interpretação da fórmula: \Delta S mede “quantas microconfigurações a mais” foram acessíveis quando se adicionou energia térmica. Quanto menor a temperatura \,T para a mesma quantidade de calor \,Q, maior é a variação de entropia (porque a mesma energia representa mais distribuição térmica a baixas temperaturas).
  • Sinais: se um sistema recebe calor \,Q>0 então \Delta S=Q/T>0. Se perde calor \,Q (isto é, sai calor), a variação é \Delta S=-|Q|/T.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao interior da casa.
  • O interior recebe calor \,Q à temperatura constante \,T_{\text{in}}. Pela fórmula,
\Delta S_{\text{in}}=\frac{Q}{T_{\text{in}}}.
  • Como \,Q>0 e \,T_{\text{in}}>0, conclui-se que \Delta S_{\text{in}}>0. Ou seja: a entropia do interior aumenta.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao exterior da casa.
  • O exterior perde a mesma quantidade de calor \,Q à temperatura constante \,T_{\text{out}}. A variação de entropia do exterior é
\Delta S_{\text{out}}=-\frac{Q}{T_{\text{out}}}.
  • Como \,Q>0, segue que \Delta S_{\text{out}}<0. Ou seja: a entropia do exterior diminui.

Passo 5

Comparar as magnitudes das variações de entropia.
  • Compare os módulos:
\left|\Delta S_{\text{in}}\right|=\frac{Q}{T_{\text{in}}},\qquad \left|\Delta S_{\text{out}}\right|=\frac{Q}{T_{\text{out}}}.
  • Como \,T_{\text{out}}<T_{\text{in}} tem-se \dfrac{1}{T_{\text{out}}}>\dfrac{1}{T_{\text{in}}}. Portanto
\left|\Delta S_{\text{out}}\right|=\frac{Q}{T_{\text{out}}}>\frac{Q}{T_{\text{in}}}=\left|\Delta S_{\text{in}}\right|.
  • Conclusão: a diminuição da entropia do exterior, em módulo, é maior do que o aumento de entropia do interior.

Passo 6

Interpretação física e relação com a segunda lei da termodinâmica (por que isso é importante).
  • Somando as variações obtém-se a variação total (universo interior+exterior) associada apenas à transferência de calor:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{in}}+\Delta S_{\text{out}} =Q\!\left(\frac{1}{T_{\text{in}}}-\frac{1}{T_{\text{out}}}\right).
  • Como \dfrac{1}{T_{\text{in}}}-\dfrac{1}{T_{\text{out}}}<0, segue \Delta S_{\text{total}}<0. Isso indicaria uma diminuição da entropia total — o que contraria a segunda lei para um processo isolado e espontâneo.
  • Explicação de resolução do “paradoxo”: é impossível transferir calor de uma fonte mais fria para uma mais quente sem algum trabalho ou produção de entropia adicional. No mundo real um aquecedor que retira calor do exterior e o entrega ao interior é um aparelho (bomba de calor) que consome trabalho externo. O trabalho fornecido e as irreversibilidades associadas produzem entropia adicional que compensa a diferença, de modo que o total real satisfaça \Delta S_{\text{total}}\ge 0.
  • Observação útil (opcional, para ver o número mínimo de trabalho requerido): se o processo fosse reversível, então exigir-se-ia \Delta S_{\text{total}}=0. Com Q_{\text{out}}=Q e Q_{\text{in}}=Q+W (conservação de energia para bomba de calor onde W é trabalho fornecido), a condição reversível leva a uma relação que determina o trabalho mínimo necessário. Mas isso é complemento — a resposta pedida nas letras (a) e (b) já foi dada.

Resposta

(a) A entropia do interior aumenta: \Delta S_{\text{in}}=\dfrac{Q}{T_{\text{in}}}>0.
A entropia do exterior diminui: \Delta S_{\text{out}}=-\dfrac{Q}{T_{\text{out}}}<0.
(b) A variação em módulo da entropia do exterior é maior: \dfrac{Q}{T_{\text{out}}}>\dfrac{Q}{T_{\text{in}}}.

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