8.15 O aquecedor de uma casa extrai calor no inverno do ar externo que está frio, o aquece c o libera no interior da casa. Para a transferência de uma dada quantidade de calon, (a) como as entropias do interior e do exterior da casa mudam (aumentam ou diminuem)? (b) Qual é a maior variação? Suponha que as temperaturas, interna c externa, não variam. Explique suas respostas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
Perguntas do enunciado:
- Para a transferência de uma dada quantidade de calor, como mudam as entropias do interior e do exterior da casa — aumentam ou diminuem?
- Qual dessas variações (em módulo) é maior?
-
Informações relevantes fornecidas (assumir convenções óbvias):
- Há uma transferência de calor entre o exterior (mais frio) e o interior (mais quente).
- A temperatura interna é constante e vale
. - A temperatura externa é constante e vale
. - Assume-se
. - Seja
a quantidade de calor que sai do exterior e chega ao interior. Adote a convenção para a quantidade de calor transferida do exterior para o interior (ou seja, o interior recebe e o exterior perde ).
Passo 2
Explicação didática do conceito que vou usar: definição prática de entropia para trocas de calor.
- Para um corpo-tanque (reservatório) que troca uma quantidade finita de calor
de forma (quase) reversível a temperatura constante , a variação de entropia é dada por
- Interpretação da fórmula:
mede “quantas microconfigurações a mais” foram acessíveis quando se adicionou energia térmica. Quanto menor a temperatura para a mesma quantidade de calor , maior é a variação de entropia (porque a mesma energia representa mais distribuição térmica a baixas temperaturas). - Sinais: se um sistema recebe calor
então . Se perde calor (isto é, sai calor), a variação é .
Passo 3
Aplicar a fórmula ao interior da casa.
- O interior recebe calor
à temperatura constante . Pela fórmula,
- Como
e , conclui-se que . Ou seja: a entropia do interior aumenta.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao exterior da casa.
- O exterior perde a mesma quantidade de calor
à temperatura constante . A variação de entropia do exterior é
- Como
, segue que . Ou seja: a entropia do exterior diminui.
Passo 5
Comparar as magnitudes das variações de entropia.
- Compare os módulos:
- Como
tem-se . Portanto
- Conclusão: a diminuição da entropia do exterior, em módulo, é maior do que o aumento de entropia do interior.
Passo 6
Interpretação física e relação com a segunda lei da termodinâmica (por que isso é importante).
- Somando as variações obtém-se a variação total (universo interior+exterior) associada apenas à transferência de calor:
- Como
, segue . Isso indicaria uma diminuição da entropia total — o que contraria a segunda lei para um processo isolado e espontâneo. - Explicação de resolução do “paradoxo”: é impossível transferir calor de uma fonte mais fria para uma mais quente sem algum trabalho ou produção de entropia adicional. No mundo real um aquecedor que retira calor do exterior e o entrega ao interior é um aparelho (bomba de calor) que consome trabalho externo. O trabalho fornecido e as irreversibilidades associadas produzem entropia adicional que compensa a diferença, de modo que o total real satisfaça
. - Observação útil (opcional, para ver o número mínimo de trabalho requerido): se o processo fosse reversível, então exigir-se-ia
. Com e (conservação de energia para bomba de calor onde é trabalho fornecido), a condição reversível leva a uma relação que determina o trabalho mínimo necessário. Mas isso é complemento — a resposta pedida nas letras (a) e (b) já foi dada.
Resposta
(a) A entropia do interior aumenta:
.
A entropia do exterior diminui: .
A entropia do exterior diminui:
(b) A variação em módulo da entropia do exterior é maior:
.