8.14 Suponha que uma fonte quente em 300.
libera 100. J de energia, que passa por uma turbina que converte parte dela em trabalho e libera o restante na forma de calor em um poço frio,
. Qual é a quantidade máxima de calor que pode ser produzida por esse motor se ele deve, no total, operar espontaneamente? Qual é a eficiència do motor, com o trabalho realizado dividido pelo calor fornecido expresso em percentagem? Como a eficiência poderia ser aumentada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas (vou escrever literalmente o que foi pedido e em seguida uma pequena observação de interpretação):
-
Dados fornecidos:
- Fonte quente à temperatura
que fornece de energia ao motor. - Poço frio à temperatura
. - Um rotor/turbina converte parte da energia recebida em trabalho
e o resto é liberado como calor no poço frio.
- Fonte quente à temperatura
-
Perguntas do enunciado:
- “Qual é a quantidade máxima de calor que pode ser produzida por esse motor se ele deve, no total, operar espontaneamente?”
- “Qual é a eficiência do motor, com o trabalho realizado dividido pelo calor fornecido expresso em percentagem?”
- “Como a eficiência poderia ser aumentada?”
Observação sobre interpretação (importante): a primeira pergunta está ambígua — aparentemente quer o máximo que o motor pode “produzir” (isto é, gerar). Em problemas desse tipo é muito comum que a pergunta seja sobre o máximo de trabalho que se pode extrair de
fornecidos por uma fonte quente, sujeito à Segunda Lei. Vou interpretar a pergunta 1 como: “Qual é a quantidade máxima de trabalho
que pode ser obtida?” (se preferir a interpretação literal "máximo de calor liberado
", isso é trivialmente
quando não se extrai trabalho). Vou seguir a interpretação “máximo trabalho”, que é a mais útil aqui.
Passo 2
Converter temperaturas para a escala absoluta (Kelvin). Por que? Porque as fórmulas da termodinâmica (entropia, eficiência de Carnot) usam temperatura absoluta.
- Temperatura da fonte quente:
- Temperatura do poço frio:
Aqui eu mostrei claramente o que cada símbolo significa:
-
é a temperatura absoluta da fonte quente em Kelvin. -
é a temperatura absoluta do poço frio em Kelvin.
Passo 3
Enunciado da restrição termodinâmica (Segunda Lei) e balanço de energia — montar as equações que vamos usar.
- Balanço de energia para o ciclo (conservação de energia):
onde
-
é o calor recebido da fonte quente (aqui ), -
é o trabalho extraído, -
é o calor rejeitado ao poço frio. -
Segunda Lei (restrição de irreversibilidade para o processo completo): a variação total de entropia do conjunto reservatórios + máquina não pode ser negativa. Para um ciclo em que a única troca de calor com reservatórios ideais é
saindo do quente e entrando no frio, a variação total de entropia é
Explicando: o reservatório quente perde calor
, então sua entropia muda em
; o reservatório frio ganha
, sua entropia muda em
. A máquina cíclica volta ao estado inicial, então não contribui à entropia total no balanço.
Dessa desigualdade isolamos
:
Isto diz que, para que o processo seja espontâneo (não violar a Segunda Lei), o calor rejeitado
não pode ser menor que
.
Passo 4
Encontrar o trabalho máximo: raciocínio.
- Do balanço de energia
temos
- Para maximizar
devemos minimizar , mas o menor possível é dado pela igualdade da Segunda Lei (processo reversível, caso limite):
- Portanto o trabalho máximo é
Essa expressão também é a fórmula da eficiência máxima (Carnot):
Explicando as variáveis novamente:
-
é a eficiência térmica máxima possível entre duas temperaturas dadas; é atingida apenas por um ciclo reversível (ciclo de Carnot). Para qualquer motor real irreversível a eficiência será menor.
Passo 5
Cálculo numérico usando os valores convertidos em Kelvin.
- Primeiramente calcule a razão
:
- Eficiência máxima:
Aqui converti para percentagem multiplicando por
:
.
- Trabalho máximo (usando
):
- Quantidade mínima de calor rejeitado ao poço frio (útil para entender o balanço):
e de fato
.
Passo 6
Interpretação física e resposta à pergunta “Como a eficiência poderia ser aumentada?”
-
Significado: a eficiência máxima é limitada pela diferença de temperaturas entre a fonte quente e o poço frio. A única forma de aumentar
é: - aumentar
(elevar a temperatura da fonte quente), ou - diminuir
(resfriar mais o poço frio), - ou ambos simultaneamente.
- aumentar
-
Observações práticas:
- Aumentar
costuma ser limitado por materiais e segurança (temperaturas muito altas exigem materiais especiais). - Diminuir
também tem limites práticos dependendo do ambiente (por exemplo, o poço frio pode ser a temperatura ambiente). - Ciclos reais têm perdas irreversíveis (atrito, perdas térmicas, irreversibilidades no fluido de trabalho), por isso nunca atingem a eficiência de Carnot; para melhorar na prática usa-se regeneração, compressão/expansão mais eficientes, múltiplos estágios, melhores trocadores de calor, etc.
- Aumentar
Resposta
Para aumentar a eficiência: aumentar