8.14 Suponha que uma fonte quente em 300. { }^{\circ} \mathrm{C} libera 100. J de energia, que passa por uma turbina que converte parte dela em trabalho e libera o restante na forma de calor em um poço frio, \mathrm{em} 20 .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a quantidade máxima de calor que pode ser produzida por esse motor se ele deve, no total, operar espontaneamente? Qual é a eficiència do motor, com o trabalho realizado dividido pelo calor fornecido expresso em percentagem? Como a eficiência poderia ser aumentada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas (vou escrever literalmente o que foi pedido e em seguida uma pequena observação de interpretação):
  • Dados fornecidos:
    • Fonte quente à temperatura \,300^\circ\text{C}\, que fornece \,100\\ \mathrm{J}\, de energia ao motor.
    • Poço frio à temperatura \,20^\circ\text{C}\,.
    • Um rotor/turbina converte parte da energia recebida em trabalho W e o resto é liberado como calor Q_c no poço frio.
  • Perguntas do enunciado:
    1. “Qual é a quantidade máxima de calor que pode ser produzida por esse motor se ele deve, no total, operar espontaneamente?”
    2. “Qual é a eficiência do motor, com o trabalho realizado dividido pelo calor fornecido expresso em percentagem?”
    3. “Como a eficiência poderia ser aumentada?”
Observação sobre interpretação (importante): a primeira pergunta está ambígua — aparentemente quer o máximo que o motor pode “produzir” (isto é, gerar). Em problemas desse tipo é muito comum que a pergunta seja sobre o máximo de trabalho que se pode extrair de \,100\\ \mathrm{J}\, fornecidos por uma fonte quente, sujeito à Segunda Lei. Vou interpretar a pergunta 1 como: “Qual é a quantidade máxima de trabalho W_{\max} que pode ser obtida?” (se preferir a interpretação literal "máximo de calor liberado Q_c", isso é trivialmente 100\\ \mathrm{J} quando não se extrai trabalho). Vou seguir a interpretação “máximo trabalho”, que é a mais útil aqui.

Passo 2

Converter temperaturas para a escala absoluta (Kelvin). Por que? Porque as fórmulas da termodinâmica (entropia, eficiência de Carnot) usam temperatura absoluta.
  • Temperatura da fonte quente:
T_h = 300^\circ\text{C} + 273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do poço frio:
T_c = 20^\circ\text{C} + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Aqui eu mostrei claramente o que cada símbolo significa:
  • T_h é a temperatura absoluta da fonte quente em Kelvin.
  • T_c é a temperatura absoluta do poço frio em Kelvin.

Passo 3

Enunciado da restrição termodinâmica (Segunda Lei) e balanço de energia — montar as equações que vamos usar.
  • Balanço de energia para o ciclo (conservação de energia):
Q_h = W + Q_c,
onde
  • Q_h é o calor recebido da fonte quente (aqui \,100\\ \mathrm{J}\,),
  • W é o trabalho extraído,
  • Q_c é o calor rejeitado ao poço frio.
  • Segunda Lei (restrição de irreversibilidade para o processo completo): a variação total de entropia do conjunto reservatórios + máquina não pode ser negativa. Para um ciclo em que a única troca de calor com reservatórios ideais é Q_h saindo do quente e Q_c entrando no frio, a variação total de entropia é
\Delta S_{\text{total}} = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} \ge 0.
Explicando: o reservatório quente perde calor Q_h, então sua entropia muda em -Q_h/T_h; o reservatório frio ganha Q_c, sua entropia muda em +Q_c/T_c. A máquina cíclica volta ao estado inicial, então não contribui à entropia total no balanço.
Dessa desigualdade isolamos Q_c:
\frac{Q_c}{T_c} \ge \frac{Q_h}{T_h} \quad\Longrightarrow\quad Q_c \ge Q_h\frac{T_c}{T_h}.
Isto diz que, para que o processo seja espontâneo (não violar a Segunda Lei), o calor rejeitado Q_c não pode ser menor que Q_h(T_c/T_h).

Passo 4

Encontrar o trabalho máximo: raciocínio.
  • Do balanço de energia Q_h = W + Q_c temos
W = Q_h - Q_c.
  • Para maximizar W devemos minimizar Q_c, mas o menor Q_c possível é dado pela igualdade da Segunda Lei (processo reversível, caso limite):
Q_{c,\min} = Q_h\frac{T_c}{T_h}.
  • Portanto o trabalho máximo é
W_{\max} = Q_h - Q_{c,\min} = Q_h\left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right).
Essa expressão também é a fórmula da eficiência máxima (Carnot):
\eta_{\max} = \frac{W_{\max}}{Q_h} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Explicando as variáveis novamente:
  • \eta_{\max} é a eficiência térmica máxima possível entre duas temperaturas dadas; é atingida apenas por um ciclo reversível (ciclo de Carnot). Para qualquer motor real irreversível a eficiência será menor.

Passo 5

Cálculo numérico usando os valores convertidos em Kelvin.
  • Primeiramente calcule a razão T_c/T_h:
\frac{T_c}{T_h}=\frac{293{,}15}{573{,}15}\approx 0{,}51158.
  • Eficiência máxima:
\eta_{\max}=1-\frac{T_c}{T_h}\approx 1-0{,}51158 = 0{,}48842\approx 48{,}84\%.
Aqui converti para percentagem multiplicando por 100\%: 0{,}48842\approx 48{,}84\%.
  • Trabalho máximo (usando Q_h=100\\ \mathrm{J}):
W_{\max}=Q_h\left(1-\frac{T_c}{T_h}\right)=100\\ \mathrm{J}\times 0{,}48842\approx 48{,}84\\ \mathrm{J}.
  • Quantidade mínima de calor rejeitado ao poço frio (útil para entender o balanço):
Q_{c,\min}=Q_h\frac{T_c}{T_h}=100\\ \mathrm{J}\times 0{,}51158\approx 51{,}16\\ \mathrm{J},
e de fato 100\\ \mathrm{J} = 48{,}84\\ \mathrm{J} + 51{,}16\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação física e resposta à pergunta “Como a eficiência poderia ser aumentada?”
  • Significado: a eficiência máxima é limitada pela diferença de temperaturas entre a fonte quente e o poço frio. A única forma de aumentar \eta_{\max}=1-T_c/T_h é:
    • aumentar T_h (elevar a temperatura da fonte quente), ou
    • diminuir T_c (resfriar mais o poço frio),
    • ou ambos simultaneamente.
  • Observações práticas:
    • Aumentar T_h costuma ser limitado por materiais e segurança (temperaturas muito altas exigem materiais especiais).
    • Diminuir T_c também tem limites práticos dependendo do ambiente (por exemplo, o poço frio pode ser a temperatura ambiente).
    • Ciclos reais têm perdas irreversíveis (atrito, perdas térmicas, irreversibilidades no fluido de trabalho), por isso nunca atingem a eficiência de Carnot; para melhorar na prática usa-se regeneração, compressão/expansão mais eficientes, múltiplos estágios, melhores trocadores de calor, etc.

Resposta

W_{\max}\approx 48{,}84\\ \mathrm{J}
\eta_{\max}\approx 48{,}84\%
Para aumentar a eficiência: aumentar T_h e/ou diminuir T_c (ou reduzir irreversibilidades do ciclo, por exemplo com melhores trocadores de calor e projetos mais próximos do reversível).

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