8.4 (a) Calcule a variação de entropia de 1,0 \mathrm{~L} de água, \mathrm{em} 0 .{ }^{\circ} \mathrm{C}, quando ela absorve 470 J de energia de um aquecedor. (b) Se 1,0 \mathrm{~L} de água está em 99^{\circ} \mathrm{C}, qual é sua variaçāo de entropia? (c) Explique qualquer diferença na variaçào de entropia.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece estes dados:
  • Um volume de água: 1{,}0\\ \mathrm{L}. Vou assumir densidade da água igual a 1{,}0\\ \mathrm{kg/L}, então a massa é m=1{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Energia absorvida pela água: Q=470\\ \mathrm{J}.
  • (a) Estado inicial: 0{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • (b) Estado inicial: 99^\circ\mathrm{C}.
  • (c) Explicação da diferença entre as variações de entropia dos itens (a) e (b).
Observações importantes (dados que vou usar):
  • Calor específico da água líquido (aproximado constante no intervalo pequeno de temperatura): c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Converter temperaturas para Kelvin: T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
O objetivo prático: calcular a variação de entropia \Delta S da água em cada caso e explicar por que os valores diferem.

Passo 2

Fórmula e ideia física que vamos usar (explicada bem passo a passo).
Definição prática da variação de entropia para um corpo que recebe calor de forma reversível quando sua temperatura varia:
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{C(T)}{T}\,dT.
Explicação das notações:
  • \Delta S é a variação de entropia (unidade \mathrm{J/K}).
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • T_i e T_f são as temperaturas inicial e final em Kelvin.
  • C(T) é a capacidade térmica do sistema (se for por unidade de massa, usa-se mc(T)); para água líquida em um pequeno intervalo de temperatura podemos aproximar C(T)\approx m c com c constante.
Se c for aproximadamente constante então
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m c}{T}\,dT = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Observações didáticas:
  • A expressão acima é válida matematicamente se tivermos uma forma reversível de levar a água de T_i a T_f. A entropia é função de estado; portanto, para calcular \Delta S do sistema entre dois estados quaisquer podemos imaginar um caminho reversível entre eles e integrar \dfrac{dQ_{\rm rev}}{T}.
  • Aqui estou calculando a variação de entropia da própria água (não da fonte nem do universo). Se o aquecimento for irreversível, a variação da água entre os mesmos estados será a mesma que a obtida por um caminho reversível; o que muda é a entropia total do universo.

Passo 3

Calcular o aumento de temperatura causado por Q=470\\ \mathrm{J}. A relação entre calor fornecido e variação de temperatura (assumindo c constante) é
\Delta T=\frac{Q}{m c}.
Substituindo os valores ( m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
\Delta T=\frac{470}{1{,}0\cdot 4186}\\ \mathrm{K}=\frac{470}{4186}\\ \mathrm{K}\approx 0{,}1123\\ \mathrm{K}.
Isso mostra que o aquecimento é muito pequeno (cerca de 0{,}11\\ \mathrm{K}), o que valida a aproximação de c constante.

Passo 4

Caso (a): água inicialmente em 0{,}0^\circ\mathrm{C}.
Converter temperatura inicial para Kelvin:
T_i=0{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
Temperatura final:
T_f=T_i+\Delta T=273{,}15+0{,}1123\\ \mathrm{K}=273{,}2623\\ \mathrm{K}.
Calcular a variação de entropia usando \Delta S=m c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right):
\Delta S = 1{,}0\cdot 4186 \cdot \ln\!\left(\frac{273{,}2623}{273{,}15}\right)\\ \mathrm{J/K}.
Agora faço o cálculo numérico em etapas: primeiro a razão
\frac{T_f}{T_i}=1+\frac{0{,}1123}{273{,}15}\approx 1{,}0004113,
em seguida o logaritmo
\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\approx 0{,}00041126,
e por fim
\Delta S \approx 4186\times 0{,}00041126\\ \mathrm{J/K}\approx 1{,}72\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Caso (b): água inicialmente em 99^\circ\mathrm{C}.
Converter temperatura inicial para Kelvin:
T_i=99^\circ\mathrm{C}=372{,}15\\ \mathrm{K}.
Temperatura final:
T_f=T_i+\Delta T=372{,}15+0{,}1123\\ \mathrm{K}=372{,}2623\\ \mathrm{K}.
Calcular \Delta S:
\Delta S = 1{,}0\cdot 4186 \cdot \ln\!\left(\frac{372{,}2623}{372{,}15}\right)\\ \mathrm{J/K}.
Cálculo numérico: razão
\frac{T_f}{T_i}=1+\frac{0{,}1123}{372{,}15}\approx 1{,}0003017,
logaritmo
\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\approx 0{,}0003016,
e então
\Delta S \approx 4186\times 0{,}0003016\\ \mathrm{J/K}\approx 1{,}26\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Explicação física da diferença (item (c)) — bem didático e com empatia.
Resumo dos resultados numéricos: para a mesma quantidade de calor Q adicionada,
  • a água a 0{,}0^\circ\mathrm{C} teve \Delta S\approx 1{,}72\\ \mathrm{J/K},
  • a água a 99^\circ\mathrm{C} teve \Delta S\approx 1{,}26\\ \mathrm{J/K}.
Por que isso acontece?
  • A variação de entropia é dada por uma integral com 1/T no integrando: \Delta S=\int \dfrac{dQ_{\rm rev}}{T}. Isso significa que o mesmo montante de energia provoca maior aumento de entropia quando entregue a uma substância mais fria (menor T), porque a “dispersão de energia” é mais eficaz em termos relativos a baixas temperaturas.
  • Matematicamente, para aquecer um corpo por \Delta T pequeno, \Delta S\approx \dfrac{Q}{T_{\rm média}}é. Assim, quanto maior T_{\rm média}é, menor a \Delta S para o mesmo Q.
  • Intuitivamente: entropia mede a dispersão de energia por unidade de temperatura; adicionar 470\\ \mathrm{J} a água fria aumenta mais a desordem relativa do que adicionar os mesmos 470\\ \mathrm{J} a água já quente.
Observação sobre hipóteses: usei c constante e calculei \Delta S por um caminho reversível imaginário entre estados iniciais e finais (válido porque entropia é função de estado). A aproximação é excelente aqui porque \Delta T é muito pequeno.

Resposta

(a) \Delta S\approx 1{,}72\\ \mathrm{J/K}
(b) \Delta S\approx 1{,}26\\ \mathrm{J/K}
(c) A diferença ocorre porque \Delta S=\int dQ_{\rm rev}/T; para a mesma energia adicionada a uma temperatura mais baixa a variação de entropia é maior, já que a contribuição \dfrac{dQ}{T} é maior quando T é menor.

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