8.4 (a) Calcule a variação de entropia de
de água,
, quando ela absorve 470 J de energia de um aquecedor. (b) Se
de água está em
, qual é sua variaçāo de entropia? (c) Explique qualquer diferença na variaçào de entropia.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece estes dados:
- Um volume de água:
. Vou assumir densidade da água igual a , então a massa é . - Energia absorvida pela água:
. - (a) Estado inicial:
. - (b) Estado inicial:
. - (c) Explicação da diferença entre as variações de entropia dos itens (a) e (b).
Observações importantes (dados que vou usar):
- Calor específico da água líquido (aproximado constante no intervalo pequeno de temperatura):
. - Converter temperaturas para Kelvin:
.
O objetivo prático: calcular a variação de entropia
da água em cada caso e explicar por que os valores diferem.
Passo 2
Fórmula e ideia física que vamos usar (explicada bem passo a passo).
Definição prática da variação de entropia para um corpo que recebe calor de forma reversível quando sua temperatura varia:
Explicação das notações:
-
é a variação de entropia (unidade ). -
é a temperatura absoluta em Kelvin. -
e são as temperaturas inicial e final em Kelvin. -
é a capacidade térmica do sistema (se for por unidade de massa, usa-se ); para água líquida em um pequeno intervalo de temperatura podemos aproximar com constante.
Se
for aproximadamente constante então
Observações didáticas:
- A expressão acima é válida matematicamente se tivermos uma forma reversível de levar a água de
a . A entropia é função de estado; portanto, para calcular do sistema entre dois estados quaisquer podemos imaginar um caminho reversível entre eles e integrar . - Aqui estou calculando a variação de entropia da própria água (não da fonte nem do universo). Se o aquecimento for irreversível, a variação da água entre os mesmos estados será a mesma que a obtida por um caminho reversível; o que muda é a entropia total do universo.
Passo 3
Calcular o aumento de temperatura causado por
. A relação entre calor fornecido e variação de temperatura (assumindo
constante) é
Substituindo os valores (
,
):
Isso mostra que o aquecimento é muito pequeno (cerca de
), o que valida a aproximação de
constante.
Passo 4
Caso (a): água inicialmente em
.
Converter temperatura inicial para Kelvin:
Temperatura final:
Calcular a variação de entropia usando
:
Agora faço o cálculo numérico em etapas: primeiro a razão
em seguida o logaritmo
e por fim
Passo 5
Caso (b): água inicialmente em
.
Converter temperatura inicial para Kelvin:
Temperatura final:
Calcular
:
Cálculo numérico: razão
logaritmo
e então
Passo 6
Explicação física da diferença (item (c)) — bem didático e com empatia.
Resumo dos resultados numéricos: para a mesma quantidade de calor
adicionada,
- a água a
teve , - a água a
teve .
Por que isso acontece?
- A variação de entropia é dada por uma integral com
no integrando: . Isso significa que o mesmo montante de energia provoca maior aumento de entropia quando entregue a uma substância mais fria (menor ), porque a “dispersão de energia” é mais eficaz em termos relativos a baixas temperaturas. - Matematicamente, para aquecer um corpo por
pequeno, . Assim, quanto maior , menor a para o mesmo . - Intuitivamente: entropia mede a dispersão de energia por unidade de temperatura; adicionar
a água fria aumenta mais a desordem relativa do que adicionar os mesmos a água já quente.
Observação sobre hipóteses: usei
constante e calculei
por um caminho reversível imaginário entre estados iniciais e finais (válido porque entropia é função de estado). A aproximação é excelente aqui porque
é muito pequeno.
Resposta
(a)
(b)
(c) A diferença ocorre porque ; para a mesma energia adicionada a uma temperatura mais baixa a variação de entropia é maior, já que a contribuição
é maior quando
é menor.
(b)
(c) A diferença ocorre porque