Ar a 15{ }^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=1.8 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}\right. e \left.\rho=1.20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) flui através de um duto liso de 0.3 m de diâmetro e 50 m de comprimento. A vazão é de 0.6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, e a pressão é a mesma em ambas as extremidades do duto. Determinar a variação de elevação entre a entrada e a saída.
Resp.: z_{1}-z_{2}=9.8 m

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar a variação de elevação entre a entrada e a saída, isto é z_{1}-z_{2}.
  • Dados fornecidos:
    • Fluido: ar a 15^\circ\mathrm{C} com viscosidade dinâmica \mu=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} e densidade \rho=1{,}20\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Duto liso de diâmetro D=0{,}3\\ \mathrm{m} e comprimento L=50\\ \mathrm{m}.
    • Vazão volumétrica Q=0{,}6\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • A pressão é a mesma nas duas extremidades: p_{1}=p_{2}.
  • Observação importante (do enunciado): o duto é liso (hidraulicamente liso), o que afeta a escolha da fórmula para fator de atrito.

Passo 2

Plano físico e equação fundamental que vamos usar (explicação didática).
  • Para escoamento estacionário incompressível em duto usamos a equação de Bernoulli entre dois pontos 1 (entrada) e 2 (saída), incluindo perda de carga por atrito h_{L}:
\frac{p_{1}}{\rho g}+\alpha_{1}\frac{v_{1}^{2}}{2g}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\rho g}+\alpha_{2}\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2}+h_{L}.
  • Aqui:
    • p é a pressão absoluta,
    • \rho é a densidade do fluido,
    • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
    • v é a velocidade média do fluido no duto,
    • \alpha é o coeficiente de correção de energia cinética (para velocidade média em perfil totalmente desenvolvido usamos \alpha\approx1),
    • z é a cota (elevação),
    • h_{L} é a perda de carga por atrito (em metros de coluna de fluido).
  • Como o enunciado diz p_{1}=p_{2} e a área é constante (mesmo diâmetro), temos v_{1}=v_{2}=v e \alpha_{1}=\alpha_{2}\approx1. Portanto a equação simplifica para:
z_{1}-z_{2}=h_{L}.
  • Conclusão: a variação de elevação procurada é igual à perda de carga por atrito no duto. Nosso objetivo agora é calcular h_{L}.

Passo 3

Calcular a velocidade média v usando continuidade (explicação e contas passo a passo).
  • A área da seção transversal do duto é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Substituindo D=0{,}3\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}3)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0225\approx0{,}070686\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A velocidade média é
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}6}{0{,}070686}\\ \mathrm{m/s}\approx8{,}487\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: essa é a velocidade média do ar no duto — é ela que determina o transporte de energia cinética e o número de Reynolds.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e decidir o regime de escoamento (explicação do conceito).
  • O número de Reynolds é adimensional e indica se o escoamento é laminar ou turbulento. Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},
onde \rho é a densidade, v a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}20\cdot 8{,}487\cdot 0{,}3}{1{,}8\times10^{-5}}.
  • Primeiro calcule o numerador: 1{,}20\cdot8{,}487\cdot0{,}3\approx3{,}055.
  • Então
\mathrm{Re}\approx\frac{3{,}055}{1{,}8\times10^{-5}}\approx1{,}697\times10^{5}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx1{,}7\times10^{5}\gg4000, portanto o escoamento é claramente turbulento.

Passo 5

Escolher e explicar a fórmula para perda de carga por atrito e o fator de atrito f.
  • Para escoamento uniforme em duto circular a perda de carga por atrito (forma de Darcy-Weisbach) é
h_{L}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), L é o comprimento e g a gravidade.
  • Para dutos lisos em regime turbulento o fator f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa. Como o duto é liso (r Rugosidade muito pequena), podemos estimar f por fórmulas empíricas para tubo liso. Uma fórmula prática e simples (Blasius) válida para \mathrm{Re} entre aproximadamente 4\times10^{3} e 10^{5} é
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
  • Observação: nosso \mathrm{Re} é um pouco maior que 10^{5}, porém Blasius ainda dá uma boa estimativa. Outra abordagem é ler o diagrama de Moody ou usar fórmulas implícitas (Colebrook) com rugosidade nula; o valor típico de f para tubos lisos e \mathrm{Re}\sim10^{5}\text{–}10^{6} fica em torno de 0{,}015\text{–}0{,}017. Vou calcular com Blasius e depois comentar a pequena diferença com a aproximação usada para obter a resposta do enunciado.

Passo 6

Calcular f pelo Blasius (contas detalhadas).
  • Aplicando Blasius:
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}=0{,}3164\,(1{,}697\times10^{5})^{-0{,}25}.
  • Calcule \mathrm{Re}^{0{,}25}=\sqrt{\sqrt{\mathrm{Re}}}. Primeiro \sqrt{\mathrm{Re}}\approx\sqrt{1{,}697\times10^{5}}\approx411{,}98. Outra raiz: \sqrt{411{,}98}\approx20{,}298. Assim \mathrm{Re}^{-0{,}25}=1/20{,}298\approx0{,}04928.
  • Portanto
f\approx0{,}3164\times0{,}04928\approx0{,}01559.

Passo 7

Calcular a perda de carga h_{L} usando os números obtidos (contas passo a passo).
  • Primeiro calcule a cabeça dinâmica \dfrac{v^{2}}{2g}:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(8{,}487)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{72{,}03}{19{,}62}\approx3{,}673\\ \mathrm{m}.
  • O parâmetro geométrico L/D é
\frac{L}{D}=\frac{50}{0{,}3}=166{,}666\ldots
  • Agora a perda de carga:
h_{L}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}\approx0{,}01559\times166{,}6667\times3{,}673.
  • Multiplicando: 166{,}6667\times3{,}673\approx612{,}17. Então
h_{L}\approx0{,}01559\times612{,}17\approx9{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: usando a fórmula de Blasius obtemos h_{L}\approx9{,}54\\ \mathrm{m}. É um valor muito próximo da resposta dada no enunciado.

Passo 8

Ajuste e comparação com a resposta do enunciado (por que 9,8 m aparece).
  • Como mencionei, a determinação de f tem pequenas incertezas dependendo da fórmula/ gráfico de Moody usado. Para dutos lisos e \mathrm{Re} do nosso problema um valor típico adotado por muitos exercícios é f\approx0{,}016.
  • Se usarmos f=0{,}016, então
h_{L}=0{,}016\times612{,}17\approx9{,}79\\ \mathrm{m},
o que, por arredondamento, dá 9{,}8\\ \mathrm{m} — exatamente a resposta indicada no enunciado.
  • Conclusão prática: tanto o cálculo com Blasius ( 9{,}54\\ \mathrm{m}) quanto a escolha de um f arredondado para tubo liso ( 9{,}79\\ \mathrm{m}) mostram que a variação de elevação é da ordem de 9{,}6\text{–}9{,}8\\ \mathrm{m}. Para coincidir com o valor fornecido na resposta, adotamos f=0{,}016.

Passo 9

Concluir relacionando Bernoulli e resultado numérico.
  • Lembrando: da simplificação da equação de Bernoulli chegamos a z_{1}-z_{2}=h_{L}.
  • Com f\approx0{,}016 (valor típico de duto liso na faixa de \mathrm{Re} dada) obtemos
z_{1}-z_{2}=h_{L}\approx9{,}79\\ \mathrm{m}\approx9{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Comentário final de incentivo: o passo-chave é sempre calcular v, avaliar \mathrm{Re} para saber o regime, escolher um método razoável para f (Blasius, Moody ou Colebrook) e então aplicar Darcy-Weisbach. Com um pouco de prática isso vira rotina — você já está próximo de dominar!

Resposta

z_{1}-z_{2}=9{,}8\\ \mathrm{m}

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