Óleo com v=0.0002 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} escoa em um duto circular inclinado ( D=6 \mathrm{~cm}; sua inclinação é de 40 graus com relação à horizontal). As pressões nas Seções 1 e 2, separadas por uma distância axial de 10 m , são de 350 kPa e 250 kPa , respectivamente. Assumindo escoamento laminar e sabendo que o Ponto 1 encontra-se a uma altura inferior à do Ponto 2, calcule: (a) a perda de carga entre 1 e 2, (b) a velocidade média, (c) o fator de atrito.
Resp.: a) h_{I D}=48.1 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}; b) <v>=2.7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; c) f=0,079

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados. Perguntas:
  • (a) Calcular a perda de carga entre as seções 1 e 2.
  • (b) Calcular a velocidade média do escoamento.
  • (c) Calcular o fator de atrito.
Dados fornecidos:
\nu = 0{,}0002\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
\rho = 900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
D = 0{,}06\\ \mathrm{m}
\text{inclinação } \theta = 40^\circçã
\text{distância axial } L = 10\\ \mathrm{m}â
p_1 = 350\\ \mathrm{kPa},\qquad p_2 = 250\\ \mathrm{kPa}
Observação importante do enunciado: o Ponto 1 está a uma altura inferior à do Ponto 2 (logo há elevação ao deslocar de 1 para 2).

Passo 2

Entendimento físico e a equação de energia útil aqui. Para escoamento incompressível e estacionário entre as seções 1 e 2, a forma da equação de Bernoulli com perda de carga (forma por unidade de massa) é
\frac{p_1}{\rho} + \alpha_1\frac{v^2}{2} + g z_1 = \frac{p_2}{\rho} + \alpha_2\frac{v^2}{2} + g z_2 + h_L,
onde:
  • \;p é pressão, \rho densidade;
  • \;v é velocidade média (a mesma nas duas seções porque o diâmetro é constante);
  • \alpha é o fator de correção da energia cinética (para perfil de velocidade não uniforme);
  • \;g é aceleração da gravidade;
  • \;z são alturas absolutas;
  • \;h_L é a perda de carga (energia dissipada por unidade de massa, em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
Para escoamento totalmente desenvolvido num tubo circular, o fator cinético para escoamento laminar vale \alpha=2. Como v é o mesmo nas duas seções e \alpha_1=\alpha_2, os termos cinéticos se cancelam. Assim obtemos uma expressão simples para h_L:
h_L = \frac{p_1 - p_2}{\rho} + g(z_1 - z_2).
Como o Ponto 2 está acima do 1, definimos \Delta z = z_2 - z_1 (positivo) e, portanto,
h_L = \frac{p_1 - p_2}{\rho} - g\,\Delta z.

Passo 3

Calcular a diferença de altura \Delta z a partir da distância axial L e do ângulo \theta. A componente vertical de um segmento axial é L\sin\theta. Logo:
\Delta z = L\sin\theta = 10\sin(40^\circ).
Agora calculamos numericamente. Usando \sin(40^\circ)\approx 0{,}642787,
\Delta z \approx 10 \times 0{,}642787 = 6{,}42787\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a perda de carga h_L usando a fórmula da Passo 2. Primeiro convertemos as pressões para Pa:
p_1 - p_2 = (350-250)\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
Agora substituímos:
\frac{p_1 - p_2}{\rho} = \frac{100000}{900} \approx 111{,}111\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 e a \Delta z calculada:
g\,\Delta z \approx 9{,}81 \times 6{,}42787 \approx 63{,}05\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Portanto
h_L = 111{,}111 - 63{,}05 \approx 48{,}06\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Arredondando de forma compatível com a resposta fornecida:
h_L \approx 48{,}1\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.

Passo 5

Agora vamos achar a velocidade média. Em tubos, a perda de carga também pode ser escrita pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_L = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2},
onde f é o fator de atrito de Darcy. Para escoamento laminar em tubo circular há uma fórmula teórica simples:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}},
com o número de Reynolds definido por
\mathrm{Re} = \frac{v D}{\nu}.
Aqui temos duas incógnitas ( v e f), mas, substituindo f em termos de v na expressão de h_L, conseguimos isolar v. Vamos desenvolver isso.

Passo 6

Substituímos f=64/\mathrm{Re}=64\,\nu/(vD) em Darcy–Weisbach:
h_L = \left(\frac{64\nu}{vD}\right)\frac{L}{D}\frac{v^2}{2}.
Simplificando:
h_L = \frac{64\nu L v}{2 D^2} = \frac{32\nu L v}{D^2}.
Agora isolamos v:
v = \frac{h_L D^2}{32 \nu L}.

Passo 7

Substituímos valores numéricos na fórmula de v. Usamos h_L = 48{,}06\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2, D=0{,}06\\ \mathrm{m}, \nu = 0{,}0002\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, L=10\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
D^2 = (0{,}06)^2 = 0{,}0036\\ \mathrm{m}^2.
\text{numerador} = h_L D^2 \approx 48{,}06 \times 0{,}0036 \approx 0{,}173016.
\text{denominador} = 32 \nu L = 32 \times 0{,}0002 \times 10 = 0{,}064.
v \approx \frac{0{,}173016}{0{,}064} \approx 2{,}703\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando para uma casa decimal, conforme resposta fornecida:
v \approx 2{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 8

Calcular o fator de atrito f. Primeiro obtemos o número de Reynolds com a velocidade encontrada:
\mathrm{Re} = \frac{v D}{\nu} = \frac{2{,}703 \times 0{,}06}{0{,}0002}.
Calculando:
vD = 2{,}703 \times 0{,}06 = 0{,}16218.
\mathrm{Re} = \frac{0{,}16218}{0{,}0002} = 810{,}9 \approx 811.
Como \mathrm{Re}<2300, o escoamento é de fato laminar (coerente com a hipótese do enunciado). Assim usamos a relação para laminar:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}} \approx \frac{64}{810{,}9} \approx 0{,}0789.
Arredondando conforme resposta fornecida:
f \approx 0{,}079.

Resposta

h_{ID}=48{,}1\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2
\langle v\rangle = 2{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
f = 0{,}079

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