Óleo com
e
escoa em um duto circular inclinado (
; sua inclinação é de 40 graus com relação à horizontal). As pressões nas Seções 1 e 2, separadas por uma distância axial de 10 m , são de 350 kPa e 250 kPa , respectivamente. Assumindo escoamento laminar e sabendo que o Ponto 1 encontra-se a uma altura inferior à do Ponto 2, calcule: (a) a perda de carga entre 1 e 2, (b) a velocidade média, (c) o fator de atrito.
Resp.: a)
; b)
; c)
Resp.: a)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados. Perguntas:
- (a) Calcular a perda de carga entre as seções 1 e 2.
- (b) Calcular a velocidade média do escoamento.
- (c) Calcular o fator de atrito.
Dados fornecidos:
Observação importante do enunciado: o Ponto 1 está a uma altura inferior à do Ponto 2 (logo há elevação ao deslocar de 1 para 2).
Passo 2
Entendimento físico e a equação de energia útil aqui. Para escoamento incompressível e estacionário entre as seções 1 e 2, a forma da equação de Bernoulli com perda de carga (forma por unidade de massa) é
onde:
-
é pressão, densidade; -
é velocidade média (a mesma nas duas seções porque o diâmetro é constante); -
é o fator de correção da energia cinética (para perfil de velocidade não uniforme); -
é aceleração da gravidade; -
são alturas absolutas; -
é a perda de carga (energia dissipada por unidade de massa, em ).
Para escoamento totalmente desenvolvido num tubo circular, o fator cinético para escoamento laminar vale
. Como
é o mesmo nas duas seções e
, os termos cinéticos se cancelam. Assim obtemos uma expressão simples para
:
Como o Ponto 2 está acima do 1, definimos
(positivo) e, portanto,
Passo 3
Calcular a diferença de altura
a partir da distância axial
e do ângulo
. A componente vertical de um segmento axial é
. Logo:
Agora calculamos numericamente. Usando
,
Passo 4
Calcular a perda de carga
usando a fórmula da Passo 2. Primeiro convertemos as pressões para Pa:
Agora substituímos:
Usamos
e a
calculada:
Portanto
Arredondando de forma compatível com a resposta fornecida:
Passo 5
Agora vamos achar a velocidade média. Em tubos, a perda de carga também pode ser escrita pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito de Darcy. Para escoamento laminar em tubo circular há uma fórmula teórica simples:
com o número de Reynolds definido por
Aqui temos duas incógnitas (
e
), mas, substituindo
em termos de
na expressão de
, conseguimos isolar
. Vamos desenvolver isso.
Passo 6
Substituímos
em Darcy–Weisbach:
Simplificando:
Agora isolamos
:
Passo 7
Substituímos valores numéricos na fórmula de
. Usamos
,
,
,
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Arredondando para uma casa decimal, conforme resposta fornecida:
Passo 8
Calcular o fator de atrito
. Primeiro obtemos o número de Reynolds com a velocidade encontrada:
Calculando:
Como
, o escoamento é de fato laminar (coerente com a hipótese do enunciado). Assim usamos a relação para laminar:
Arredondando conforme resposta fornecida: