- 15 (D) Resolva:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para resolver (ou seja, encontrar as soluções gerais
).
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de com
e
multiplicativamente; não há condições iniciais fornecidas.
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de
Passo 2
Vamos identificar um método adequado: a equação é do tipo em que o lado direito é produto de uma função de
por uma função de
. Essas equações são chamadas de separáveis porque conseguimos “separar”
e
em lados diferentes da igualdade. Para separar, escrevemos a equação com todos os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro. Ao fazer isso, atenção: não podemos dividir pela expressão que pode ser zero (aqui
) sem considerar a possibilidade de
como solução especial. Portanto primeiro tratamos a possibilidade
e depois assumimos
para dividir.
Passo 3
Trato da solução constante: se
, então
e o lado direito
. Logo
é solução válida. Agora suponha
e separe variáveis. Começamos com
Dividindo por
e multiplicando por
obtemos (válido quando
)
Aqui usei
para representar
, que facilita a integração.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar a integral de cada lado e explicar a primitiva usada:
A primitiva de em relação a
é
, porque
A primitiva de
A primitiva de
em relação a
é
, pela regra da potência. Assim,
Igualando e absorvendo constantes (podemos juntar
num único
) obtemos
Passo 5
Isolamos
. A partir de
temos
logo
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar a aparência da constante, escrevemos
onde definimos
(aqui
é uma constante arbitrária real). Lembre-se que essa fórmula foi obtida supondo
; a solução
já foi tratada no passo anterior. Também há a restrição de que
(não podemos dividir por zero), então o domínio de cada solução exclui pontos onde
.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para mostrar que você checou): tome
. Escreva
. Diferenciando,
Agora calcule
:
que é exatamente
. Portanto a família encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.
Passo 7
Resumo e observações finais (dicas para a prova):
- Sempre verifique se a equação é separável (produto de função de
por função de ). - Ao separar, tome cuidado com soluções constantes que podem ter sido “perdidas” ao dividir por expressões que poderiam ser zero (aqui
). - Ao integrar, explique qual primitiva está usando (regra da potência).
- Ao isolar
, reparametrize a constante para uma forma mais simples se quiser (como fiz com ). - Sempre mencionar domínio (pontos onde o denominador fica zero) é bom para nota.