1. 15 (D) Resolva: \frac{d y}{d x}=x^{3} \cdot y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x^{3}\cdot y^{2}
e pede para resolver (ou seja, encontrar as soluções gerais y(x)).
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada de y com x e y multiplicativamente; não há condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Vamos identificar um método adequado: a equação é do tipo em que o lado direito é produto de uma função de x por uma função de y. Essas equações são chamadas de separáveis porque conseguimos “separar” y e x em lados diferentes da igualdade. Para separar, escrevemos a equação com todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro. Ao fazer isso, atenção: não podemos dividir pela expressão que pode ser zero (aqui y^{2}) sem considerar a possibilidade de y=0 como solução especial. Portanto primeiro tratamos a possibilidade y\equiv 0 e depois assumimos y\neq 0 para dividir.

Passo 3

Trato da solução constante: se y(x)\equiv 0, então \dfrac{dy}{dx}=0 e o lado direito x^{3}\cdot y^{2}=x^{3}\cdot 0=0. Logo y(x)=0 é solução válida. Agora suponha y\neq 0 e separe variáveis. Começamos com
\frac{d y}{d x}=x^{3}y^{2}.
Dividindo por y^{2} e multiplicando por dx obtemos (válido quando y\neq 0)
y^{-2}\,dy = x^{3}\,dx.
Aqui usei y^{-2} para representar \dfrac{1}{y^{2}}, que facilita a integração.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar a integral de cada lado e explicar a primitiva usada:
A primitiva de y^{-2} em relação a y é -y^{-1}, porque
\frac{d}{dy}\bigl(-y^{-1}\bigr)= -(-1)y^{-2}=y^{-2}.
A primitiva de x^{3} em relação a x é \dfrac{x^{4}}{4}, pela regra da potência. Assim,
\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_{1}, \qquad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_{2}.
Igualando e absorvendo constantes (podemos juntar C_{2}-C_{1} num único C) obtemos
-\frac{1}{y} = \frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 5

Isolamos y. A partir de
-\frac{1}{y} = \frac{x^{4}}{4} + C
temos
\frac{1}{y} = -\frac{x^{4}}{4} - C,
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y = \frac{1}{-\dfrac{x^{4}}{4} - C} = -\frac{1}{\dfrac{x^{4}}{4} + C}.
Multiplicando numerador e denominador por 4 para simplificar a aparência da constante, escrevemos
y = -\frac{4}{x^{4} + K},
onde definimos K=4C (aqui K é uma constante arbitrária real). Lembre-se que essa fórmula foi obtida supondo y\neq 0; a solução y\equiv 0 já foi tratada no passo anterior. Também há a restrição de que x^{4}+K\neq 0 (não podemos dividir por zero), então o domínio de cada solução exclui pontos onde x^{4}+K=0.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para mostrar que você checou): tome y(x)=-4/(x^{4}+K). Escreva y=-4(x^{4}+K)^{-1}. Diferenciando,
\frac{dy}{dx} = -4\cdot(-1)(x^{4}+K)^{-2}\cdot 4x^{3} = \frac{16x^{3}}{(x^{4}+K)^{2}}.
Agora calcule x^{3}y^{2}:
x^{3}y^{2} = x^{3}\left(\frac{-4}{x^{4}+K}\right)^{2} = x^{3}\cdot\frac{16}{(x^{4}+K)^{2}} = \frac{16x^{3}}{(x^{4}+K)^{2}},
que é exatamente \dfrac{dy}{dx}. Portanto a família encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 7

Resumo e observações finais (dicas para a prova):
  • Sempre verifique se a equação é separável (produto de função de x por função de y).
  • Ao separar, tome cuidado com soluções constantes que podem ter sido “perdidas” ao dividir por expressões que poderiam ser zero (aqui y=0).
  • Ao integrar, explique qual primitiva está usando (regra da potência).
  • Ao isolar y, reparametrize a constante para uma forma mais simples se quiser (como fiz com K).
  • Sempre mencionar domínio (pontos onde o denominador fica zero) é bom para nota.

Resposta

\displaystyle y(x) = -\frac{4}{x^{4} + C}, C\in\mathbb{R}
\displaystyle y(x)=0

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