O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevo claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
\frac{dy}{dx} = -2 - y + y^{2}
Condição inicial (interpreto y_{1}=2 como y(1)=2):
y(1)=2.
O pedido implícito é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Antes de sair dividindo e integrando, é útil ver se existem soluções constantes (equilíbrios). Solução constante significa y(x)= constante =y_0 com \dfrac{dy}{dx}=0. Então substituímos na equação:
0 = -2 - y_0 + y_0^{2}.
Isso é uma equação quadrática em y_0. Vou resolvê-la: escrevo
y_0^{2} - y_0 - 2 = 0.
Fatorando o polinômio:
y_0^{2} - y_0 - 2 = (y_0-2)(y_0+1) = 0,
logo as soluções constantes são
y_0 = 2 \quad\text{ou}\quad y_0 = -1.
Essas duas funções constantes y(x)\equiv 2 e y(x)\equiv -1 são soluções triviais da equação diferencial. Importante: se a condição inicial for exatamente uma dessas, a solução procurada pode ser a constante correspondente. No nosso caso a condição inicial é y(1)=2, que coincide com o equilíbrio y\equiv 2. Ainda assim, para aprender o processo, vou também fazer a resolução geral por separação (lembrando que, ao separar, não podemos dividir por expressões que sejam zero em soluções constantes — por isso a verificação das constantes era necessária).
Passo 3
Assumo agora soluções não constantes (caso contrário já temos y\equiv 2 como candidato). A equação é separável: coloco todos os termos em y de um lado e x do outro:
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Para permitir sinais negativos absorvo o sinal numa constante K que pode ser qualquer número real não-nulo (ou zero, que corresponde ao caso particular que veremos):
\frac{y-2}{y+1} = K e^{3x},\qquad K\in\mathbb{R}.
Passo 6
Isolo y em função de x. Multiplicando:
y - 2 = K e^{3x}(y+1).
Agrupando os termos com y em um lado:
y - K e^{3x}y = 2 + K e^{3x}.
Fatorando y:
y\big(1 - K e^{3x}\big) = 2 + K e^{3x}.
Finalmente,
y(x) = \frac{2 + K e^{3x}}{1 - K e^{3x}}.
Essa é a família geral de soluções obtida pela separação (válida quando o denominador \not=0; as soluções constantes y\equiv 2 e y\equiv -1 correspondem a casos em que a separação original teve cuidado ao dividir por algo que poderia ser zero — no caso K=0 dá y\equiv 2, e o caso y\equiv -1 corresponde a outra escolha degenerada).
Passo 7
Agora aplico a condição inicial y(1)=2 para determinar K. Substituo x=1 e y=2 na expressão geral:
2 = \frac{2 + K e^{3\cdot 1}}{1 - K e^{3\cdot 1}} = \frac{2 + K e^{3}}{1 - K e^{3}}.
Resolvo para K. Multiplico ambos os lados pelo denominador:
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é a solução constante y(x)\equiv 2. Verifico rapidamente: se y\equiv 2 então \dfrac{dy}{dx}=0 e no lado direito -2 - 2 + 2^{2} = -4 + 4 = 0, logo a equação é satisfeita.