Ex-1) \frac{d y}{d x}=-2-y+y^{2} ; y_{1}=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Escrevo claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado:
\frac{dy}{dx} = -2 - y + y^{2}
Condição inicial (interpreto y_{1}=2 como y(1)=2):
y(1)=2.
O pedido implícito é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Antes de sair dividindo e integrando, é útil ver se existem soluções constantes (equilíbrios). Solução constante significa y(x)= constante =y_0 com \dfrac{dy}{dx}=0. Então substituímos na equação:
0 = -2 - y_0 + y_0^{2}.
Isso é uma equação quadrática em y_0. Vou resolvê-la: escrevo
y_0^{2} - y_0 - 2 = 0.
Fatorando o polinômio:
y_0^{2} - y_0 - 2 = (y_0-2)(y_0+1) = 0,
logo as soluções constantes são
y_0 = 2 \quad\text{ou}\quad y_0 = -1.
Essas duas funções constantes y(x)\equiv 2 e y(x)\equiv -1 são soluções triviais da equação diferencial. Importante: se a condição inicial for exatamente uma dessas, a solução procurada pode ser a constante correspondente. No nosso caso a condição inicial é y(1)=2, que coincide com o equilíbrio y\equiv 2. Ainda assim, para aprender o processo, vou também fazer a resolução geral por separação (lembrando que, ao separar, não podemos dividir por expressões que sejam zero em soluções constantes — por isso a verificação das constantes era necessária).

Passo 3

Assumo agora soluções não constantes (caso contrário já temos y\equiv 2 como candidato). A equação é separável: coloco todos os termos em y de um lado e x do outro:
\frac{dy}{dx} = y^{2}-y-2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}-y-2} = dx.
Vou fatorar o denominador (já fiz isso no passo anterior):
y^{2}-y-2 = (y-2)(y+1).
Preciso integrar \displaystyle\int \frac{dy}{(y-2)(y+1)}. Para isso uso frações parciais.

Passo 4

Faço a decomposição em frações parciais: procuro [A) e B tais que
\frac{1}{(y-2)(y+1)} = \frac{A}{y-2} + \frac{B}{y+1}.
Multiplicando ambos os lados por (y-2)(y+1) obtenho
1 = A(y+1) + B(y-2).
Reagrupando coeficientes em y:
1 = (A+B)y + (A-2B).
Comparando coeficientes do polinômio no lado direito com o polinômio constante 1 do lado esquerdo, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] A - 2B = 1. \end{cases}
Resolve-se: da primeira equação (A = -B]. Substituindo na segunda:
- B - 2B = 1 \quad\Rightarrow\quad -3B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = -\dfrac{1}{3}.
Então A = -B = \dfrac{1}{3}.
Portanto
\frac{1}{(y-2)(y+1)} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-2} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y+1}.]

Passo 5

Agora integro ambos os lados da igualdade \dfrac{dy}{(y-2)(y+1)} = dx. Substituindo a decomposição:
\int\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-2} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y+1}\right)dy = \int dx.
Integro termo a termo. Lembre-se: \int \dfrac{1}{y-a}\,dy = \ln|y-a| + C. Assim,
\frac{1}{3}\ln|y-2| - \frac{1}{3}\ln|y+1| = x + C,
onde C é constante de integração. Posso juntar os logs:
\frac{1}{3}\ln\left|\frac{y-2}{y+1}\right| = x + C.
Multiplicando por 3:
\ln\left|\frac{y-2}{y+1}\right| = 3x + C_{1},
onde C_{1}=3C. Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{y-2}{y+1}\right| = e^{3x+C_{1}} = C_{2} e^{3x},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Para permitir sinais negativos absorvo o sinal numa constante K que pode ser qualquer número real não-nulo (ou zero, que corresponde ao caso particular que veremos):
\frac{y-2}{y+1} = K e^{3x},\qquad K\in\mathbb{R}.

Passo 6

Isolo y em função de x. Multiplicando:
y - 2 = K e^{3x}(y+1).
Agrupando os termos com y em um lado:
y - K e^{3x}y = 2 + K e^{3x}.
Fatorando y:
y\big(1 - K e^{3x}\big) = 2 + K e^{3x}.
Finalmente,
y(x) = \frac{2 + K e^{3x}}{1 - K e^{3x}}.
Essa é a família geral de soluções obtida pela separação (válida quando o denominador \not=0; as soluções constantes y\equiv 2 e y\equiv -1 correspondem a casos em que a separação original teve cuidado ao dividir por algo que poderia ser zero — no caso K=0 y\equiv 2, e o caso y\equiv -1 corresponde a outra escolha degenerada).

Passo 7

Agora aplico a condição inicial y(1)=2 para determinar K. Substituo x=1 e y=2 na expressão geral:
2 = \frac{2 + K e^{3\cdot 1}}{1 - K e^{3\cdot 1}} = \frac{2 + K e^{3}}{1 - K e^{3}}.
Resolvo para K. Multiplico ambos os lados pelo denominador:
2\big(1 - K e^{3}\big) = 2 + K e^{3}.
Expandindo:
2 - 2K e^{3} = 2 + K e^{3}.
Subtraio 2 dos dois lados:
-2K e^{3} = K e^{3}.
Isso dá
-2K e^{3} - K e^{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3K e^{3} = 0.
Como e^{3}\neq 0, segue que K=0.

Passo 8

Com K=0, a fórmula geral reduz-se a
y(x) = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é a solução constante y(x)\equiv 2. Verifico rapidamente: se y\equiv 2 então \dfrac{dy}{dx}=0 e no lado direito -2 - 2 + 2^{2} = -4 + 4 = 0, logo a equação é satisfeita.

Resposta

y(x)=2 para todo x\in\mathbb{R}.

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