Superfícies esféricas em
e 6 m carregam densidades superficiais uniformes de cargas de
, respectivamente.
(a) Encontre
em
, 3 e 5 m . (b) Determine
tal que
em
.
(a) Encontre
Passo 1
O enunciado dá três cascas esféricas concêntricas com raios
,
e
m, carregadas com densidades superficiais uniformes
As perguntas são:
(a) Encontre nos pontos com
m,
m e
m.
(b) Determine tal que
em
m.
(a) Encontre
(b) Determine
Dados importantes extraídos do enunciado:
Não há outras cargas volumétricas; todas as cargas livres estão sobre as superfícies esféricas dadas.
Passo 2
Lei fundamental que vamos usar (explicada passo a passo):
O que isso significa:
-
é o vetor deslocamento elétrico (unidade ). -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada ; para esfera de raio , . - A integral sobre a esfera dá
.
Em problemas esfericamente simétricos,só tem componente radial e depende apenas de :
Aplicando a lei de Gauss para
numa superfície esférica de raio
centrada nas cascas:
Assim, para obter
precisamos calcular a carga livre total contida dentro da superfície de raio
. Cada casca superficial de raio
contribui com
Passo 3
Região
m (isto é
, dentro da casca mais interna).
- Cargas livres encerradas: nenhuma (todas as cascas estão em raios maiores).
Logo
e pela equação de Gauss
Portanto
Passo 4
Região
m (isto é
): a superfície de raio
encerra apenas a casca de raio
.
- Carga da casca de raio
:
Aplicando Gauss:
Isolando
:
Agora substituímos
:
Em unidades de nC/m
isso é
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Região
m (isto é
): a superfície de raio
encerra as cascas de raio
e
.
- Carga da casca de raio
: (já calculada). - Carga da casca de raio
:
Carga total encerrada:
Pela lei de Gauss:
Isolando
:
Substituindo os valores dados (
nC/m
,
nC/m
):
Então
Em C/m
:
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Agora a parte (b): queremos
em
m (ou seja para
). A superfície de raio
encerra todas as três cascas, então a carga total encerrada é
pois
para a casca de raio
.
Aplicando Gauss:
Aplicando Gauss:
Para termos
é necessário que
, ou seja
Dividindo por
:
Isolando
(que é
):
Substituindo os valores numéricos em nC/m
:
logo
Em unidades SI (C/m
):
Passo 7
Resumo final (forma vetorial e unidades claras):
-
-
-
(ou ). - Para anular
em :