Superfícies esféricas em r=2,4 e 6 m carregam densidades superficiais uniformes de cargas de 20 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2},-4 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{e} \rho_{S O}, respectivamente.
(a) Encontre \mathbf{D} em r=1, 3 e 5 m . (b) Determine \rho_{S 0} tal que \mathbf{D}=0 em r=7 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá três cascas esféricas concêntricas com raios 2, 4 e 6 m, carregadas com densidades superficiais uniformes
\sigma_1 = 20\\ \text{nC/m}^2,\qquad \sigma_2 = -4\\ \text{nC/m}^2,\qquad \sigma_3 = \rho_{S0}\\ (\text{nC/m}^2).
As perguntas são:
(a) Encontre \mathbf{D} nos pontos com r=1 m, r=3 m e r=5 m.
(b) Determine \rho_{S0} tal que \mathbf{D}=0 em r=7 m.
Dados importantes extraídos do enunciado:
\text{cascas em } r=2,\\\ 4,\\\ 6\\ \text{ m com } \sigma_1,\\ \sigma_2,\\ \sigma_3=\rho_{S0}.
Não há outras cargas volumétricas; todas as cargas livres estão sobre as superfícies esféricas dadas.

Passo 2

Lei fundamental que vamos usar (explicada passo a passo):
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{livre, encerrada}}.
O que isso significa:
  • \mathbf{D} é o vetor deslocamento elétrico (unidade \text{C/m}^2).
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada \mathcal{S}; para esfera de raio r, d\mathbf{A}=\hat{\mathbf r}\,r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • A integral sobre a esfera dá \oint d\mathbf{A}=4\pi r^2\hat{\mathbf r}.
    Em problemas esfericamente simétricos, \mathbf{D} só tem componente radial e depende apenas de r:
\mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{\mathbf r}.
Aplicando a lei de Gauss para \mathbf{D} numa superfície esférica de raio r centrada nas cascas:
D_r(r)\,4\pi r^2 = Q_{\text{livre, encerrada}}.
Assim, para obter D_r(r) precisamos calcular a carga livre total contida dentro da superfície de raio r. Cada casca superficial de raio R contribui com
Q_{\text{casca}}=\sigma\cdot 4\pi R^2.

Passo 3

Região r=1 m (isto é r<2, dentro da casca mais interna).
  • Cargas livres encerradas: nenhuma (todas as cascas estão em raios maiores).
    Logo
Q_{\text{enc}}=0
e pela equação de Gauss
D_r(1)\,4\pi(1)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad D_r(1)=0.
Portanto
\boxed{\mathbf{D}(r=1)=\mathbf{0}.}

Passo 4

Região r=3 m (isto é 2<r<4): a superfície de raio 3 encerra apenas a casca de raio 2.
  • Carga da casca de raio 2:
Q_1 = \sigma_1\cdot 4\pi (2)^2 = 4\pi\cdot 4\,\sigma_1 = 16\pi\,\sigma_1.
Aplicando Gauss:
D_r(3)\,4\pi(3)^2 = 16\pi\,\sigma_1.
Isolando D_r(3):
D_r(3)=\frac{16\pi\,\sigma_1}{4\pi\cdot 9}=\frac{4\sigma_1}{9}.
Agora substituímos \sigma_1=20\\ \text{nC/m}^2=20\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^2:
D_r(3)=\frac{4\cdot 20\times 10^{-9}}{9}=\frac{80}{9}\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^2 \approx 8{,}8889\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^2.
Em unidades de nC/m ^2 isso é \approx 8{,}8889\\ \text{nC/m}^2.
Portanto
\boxed{\mathbf{D}(r=3)=\left(\frac{80}{9}\times 10^{-9}\right)\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2\approx 8{,}8889\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2.}

Passo 5

Região r=5 m (isto é 4<r<6): a superfície de raio 5 encerra as cascas de raio 2 e 4.
  • Carga da casca de raio 2: Q_1=16\pi\,\sigma_1 (já calculada).
  • Carga da casca de raio 4:
Q_2 = \sigma_2\cdot 4\pi (4)^2 = 4\pi\cdot 16\,\sigma_2 = 64\pi\,\sigma_2.
Carga total encerrada:
Q_{\text{enc}} = 16\pi\,\sigma_1 + 64\pi\,\sigma_2 = 16\pi(\sigma_1+4\sigma_2).
Pela lei de Gauss:
D_r(5)\,4\pi(5)^2 = 16\pi(\sigma_1+4\sigma_2).
Isolando D_r(5):
D_r(5)=\frac{16\pi(\sigma_1+4\sigma_2)}{4\pi\cdot 25}=\frac{4(\sigma_1+4\sigma_2)}{25}.
Substituindo os valores dados ( \sigma_1=20 nC/m ^2, \sigma_2=-4 nC/m ^2):
\sigma_1+4\sigma_2 = 20 + 4(-4) = 20-16 = 4\\ \text{nC/m}^2.
Então
D_r(5)=\frac{4\cdot 4\\ \text{nC/m}^2}{25}=\frac{16}{25}\\ \text{nC/m}^2 = 0{,}64\\ \text{nC/m}^2.
Em C/m ^2: 0{,}64\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^2 = 6{,}4\times 10^{-10}\\ \text{C/m}^2.
Portanto
\boxed{\mathbf{D}(r=5)=0{,}64\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2 \\ ( =0{,}64\\ \text{nC/m}^2\,\hat{\mathbf r}).}

Passo 6

Agora a parte (b): queremos \mathbf{D}=0 em r=7 m (ou seja para r>6). A superfície de raio 7 encerra todas as três cascas, então a carga total encerrada é
Q_{\text{enc}} = 16\pi\,\sigma_1 + 64\pi\,\sigma_2 + 144\pi\,\sigma_3,
pois 4\pi(6)^2 = 144\pi para a casca de raio 6.
Aplicando Gauss:
D_r(7)\,4\pi(7)^2 = 16\pi\,\sigma_1 + 64\pi\,\sigma_2 + 144\pi\,\sigma_3.
Para termos D_r(7)=0 é necessário que Q_{\text{enc}}=0, ou seja
16\pi\,\sigma_1 + 64\pi\,\sigma_2 + 144\pi\,\sigma_3 = 0.
Dividindo por 16\pi:
\sigma_1 + 4\sigma_2 + 9\sigma_3 = 0.
Isolando \sigma_3 (que é \rho_{S0}):
\sigma_3 = -\frac{\sigma_1 + 4\sigma_2}{9}.
Substituindo os valores numéricos em nC/m ^2:
\sigma_1 + 4\sigma_2 = 20 + 4(-4) = 4\\ \text{nC/m}^2,
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\sigma_3 = -\frac{4}{9}\\ \text{nC/m}^2 \approx -0{,}444444\\ \text{nC/m}^2.
Em unidades SI (C/m ^2):
\sigma_3 = -\frac{4}{9}\times 10^{-9}\\ \text{C/m}^2 \approx -4{,}4444\times 10^{-10}\\ \text{C/m}^2.

Passo 7

Resumo final (forma vetorial e unidades claras):
  • \mathbf{D}(r=1)=\mathbf{0}.
  • \mathbf{D}(r=3)=\dfrac{80}{9}\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2\approx 8{,}8889\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2.
  • \mathbf{D}(r=5)=0{,}64\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2 (ou 0{,}64\\ \text{nC/m}^2\,\hat{\mathbf r}).
  • Para anular \mathbf{D} em r=7: \rho_{S0}=\sigma_3=-\dfrac{4}{9}\\ \text{nC/m}^2\approx -0{,}4444\\ \text{nC/m}^2.

Resposta

\mathbf{D}(r=1)=\mathbf{0}.\n \mathbf{D}(r=3)=\dfrac{80}{9}\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2\approx 8{,}8889\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2.\n \mathbf{D}(r=5)=0{,}64\times 10^{-9}\,\hat{\mathbf r}\\ \text{C/m}^2\\ ( =0{,}64\\ \text{nC/m}^2\,\hat{\mathbf r}).\n \rho_{S0}=-\dfrac{4}{9}\\ \text{nC/m}^2\approx -0{,}444444\\ \text{nC/m}^2.

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