Exercício 17.

Um transformador trifásico de distribuição \triangle-\mathrm{Y} de 13,8 / 0,22 \mathrm{kV}, 45 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz}, foi ensaiado à vazio e em curto-circuito, permitindo-se obter as seguintes leituras de tensão de linha eficaz, correntes de linha ( I_{a} / I_{b} / I_{c} ) eficazes e potência ativa trifásica, respectivamente.
Vazio: 220 \mathrm{~V}, 10 \mathrm{~A} / 9,9 \mathrm{~A} / 10,1 \mathrm{~A} ; 600 \mathrm{~W}.
Curto-circuito: 690 \mathrm{~V}, 1,88 \mathrm{~A}, 300 \mathrm{~W}.
(a) Determine o modelo T equivalente (por fase) deste transformador referido ao primário (AT).
(b) Monte um script no software Matlab para determinação dos valores do item a.

Resposta

\operatorname{Rm}=3.1740 \mathrm{e}+05 \Omega ; \mathrm{Xm}=\mathrm{j} 5.0609 \mathrm{e}+04 \Omega ; Req =28.2933 \Omega ; \mathrm{Xeq}=\mathrm{j} 210.0024 \Omega ;
\mathrm{R} 1=\mathrm{R} 2^{\prime}=14.1467 \Omega ; \mathrm{X} 1=\mathrm{X} 2^{\prime}=\mathrm{j} 105.0012 \Omega.

Passo 1

Enunciado e dados (vou deixar tudo bem claro para a gente não se perder):
\text{Transformador } \Delta-\mathrm{Y},\quad 13{,}8\\ \text{kV} / 0{,}22\\ \text{kV},\quad 45\\ \text{kVA},\quad 60\\ \text{Hz}.
Ensaios com leituras trifásicas (tensões de linha, correntes de linha e potência ativa total):
Vazio: \;220\\ \text{V},\; I_a=10\\ \text{A},\; I_b=9{,}9\\ \text{A},\; I_c=10{,}1\\ \text{A};\; P_{oc}=600\\ \text{W}.
Curto-circuito: \;690\\ \text{V},\; I_{sc}=1{,}88\\ \text{A},\; P_{sc}=300\\ \text{W}.
Perguntas:
(a) Determinar o modelo T equivalente por fase referido ao primário (lado AT).
(b) Montar um script em Matlab que calcule os mesmos valores.
Obs.: os ensaios trazem tensões de linha e correntes de linha. O lado de baixa tensão (BT) é estrela ( Y), então para esse lado a tensão de fase é \,V_{\text{fase}}=V_{\text{linha}}/\sqrt{3}\, e a corrente de fase é igual à corrente de linha. Vamos usar essas relações quando necessário e, ao final dos cálculos do ramo de magnetização (ensaio à vazio), referir esses impedâncias ao primário (AT) usando a razão de tensões a (linha a linha):
a=\frac{V_{AT,\text{linha}}}{V_{BT,\text{linha}}}=\frac{13{,}8\\ \text{kV}}{0{,}22\\ \text{kV}}.

Passo 2

Cálculo da relação de transformação (razão de tensões) e do fator \,a^2.
a=\frac{13{,}800}{220}=62{,}7272727\ldots
a^{2}=62{,}7272727^{2}=3{,}934{,}7107438\ldots
Vou manter a notação a para usar ao referir impedâncias entre BT e AT.

Passo 3

Ensaio à vazio — teoria curta e aplicação passo a passo (aqui obtemos o ramo de magnetização R_m e X_m).
Teoria útil:
  • Em ensaio à vazio a maior parte da corrente é corrente de magnetização, e a potência medida é basicamente perda no núcleo (perdas no ferro). Para um sistema trifásico:
P_{\text{fase}}=\frac{P_{oc}}{3}.
  • Para o lado estrela (BT): tensão de fase
V_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}.
  • A resistência do ramo de magnetização no lado onde o ensaio é medido (a partir da potência) é
R_{m,\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}^{2}}{P_{\text{fase}}}.
  • A componente ativa da corrente por fase (componente de perda) é
I_{c}=\frac{P_{\text{fase}}}{V_{\text{fase}}}.
  • A corrente de magnetização reativa por fase é
I_{m}=\sqrt{I_{\text{fase}}^{2}-I_{c}^{2}},
onde I_{\text{fase}} é a corrente de fase medida no ensaio (aqui igual à corrente de linha porque o enrolamento está em Y).
  • A reatância de magnetização é
X_{m,\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{I_{m}}.
Aplicando aos dados:
V_{\text{fase (oc)}}=\frac{220}{\sqrt{3}}=127{,}017237\\ \text{V}.
P_{\text{fase}}=\frac{600}{3}=200\\ \text{W}.
Usamos a média das correntes de linha medidas: \;I_{\text{fase}}=\frac{10+9{,}9+10{,}1}{3}=10{,}0\\ \text{A}.
Calcule R_{m} no lado BT:
R_{m,\text{BT}}=\frac{(127{,}017237)^{2}}{200}=80{,}646874\\ \Omega.
Componente ativa da corrente:
I_{c}=\frac{200}{127{,}017237}=1{,}574454\\ \text{A}.
Corrente de magnetização reativa:
I_{m}=\sqrt{10^{2}-1{,}574454^{2}}=9{,}875716\\ \text{A}.
Reatância de magnetização no lado BT:
X_{m,\text{BT}}=\frac{127{,}017237}{9{,}875716}=12{,}858740\\ \Omega.
Agora referimos esses valores ao primário (AT) multiplicando por a^{2}:
R_{m,\text{AT}}=R_{m,\text{BT}}\cdot a^{2}=80{,}646874\cdot 3{,}934{,}7107438=317{,}403{,}9\\ \Omega\approx 3{,}1740\times 10^{5}\\ \Omega.
X_{m,\text{AT}}=X_{m,\text{BT}}\cdot a^{2}=12{,}858740\cdot 3{,}934{,}7107438=50{,}609{,}0\\ \Omega\approx 5{,}0609\times 10^{4}\\ \Omega.
Portanto o ramo de magnetização referido ao primário (AT) é
R_{m}=3{,}1740\times 10^{5}\\ \Omega,\quad X_{m}=j\,5{,}0609\times 10^{4}\\ \Omega.

Passo 4

Ensaio em curto-circuito — teoria e cálculo do impedance série equivalente por fase.
Teoria útil:
  • A potência em curto-circuito é dissipada nas resistências série equivalentes. Para um sistema trifásico,
P_{sc}=3\cdot I_{sc}^{2}\cdot R_{eq,\text{fase}},
logo
R_{eq,\text{fase}}=\frac{P_{sc}}{3\,I_{sc}^{2}}.
  • A impedância por fase (módulo) pode ser obtida por divisão da tensão de fase aplicada pela corrente de fase. Se o ensaio foi feito no lado que está em Y (tensão de linha informada), usamos V_{\text{fase}}=V_{\text{linha}}/\sqrt{3} e I_{\text{fase}}=I_{sc}. Assim
Z_{eq,\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{I_{sc}}=\frac{V_{\text{linha}}/\sqrt{3}}{I_{sc}}.
  • A reatância equivalente é então
X_{eq,\text{fase}}=\sqrt{Z_{eq,\text{fase}}^{2}-R_{eq,\text{fase}}^{2}}.
Aplicando aos dados:
R_{eq,\text{fase}}=\frac{300}{3\cdot (1{,}88)^{2}}=\frac{300}{3\cdot 3{,}5344}=28{,}293311\\ \Omega.
Tensão de fase (usando V_{\text{linha}}=690\\ \text{V} e Y para o lado em que o ensaio foi feito):
V_{\text{fase (sc)}}=\frac{690}{\sqrt{3}}=398{,}578\\ \text{V}.
Impedância por fase (módulo):
Z_{eq,\text{fase}}=\frac{398{,}578}{1{,}88}=212{,}0021\\ \Omega.
Reatância equivalente por fase:
X_{eq,\text{fase}}=\sqrt{212{,}0021^{2}-28{,}293311^{2}}=210{,}0024\\ \Omega.
Portanto a impedância série equivalente (por fase) referida ao lado considerado é
R_{eq}=28{,}2933\\ \Omega,\quad X_{eq}=j\,210{,}0024\\ \Omega.

Passo 5

Montagem do modelo T (por fase) e divisão simétrica dos elementos série.
No modelo T por fase, tipicamente dividimos a impedância série total em duas impedâncias iguais (lado primário e lado referenciado do secundário), assumindo simetria:
R_{1}=R_{2}'=\frac{R_{eq}}{2}=\frac{28{,}293311}{2}=14{,}1466555\\ \Omega\approx 14{,}1467\\ \Omega,
X_{1}=X_{2}'=\frac{X_{eq}}{2}=\frac{210{,}0024}{2}=105{,}0012\\ \Omega.
Assim obtemos os elementos do T equivalente por fase, todos já referidos ao primário (AT) conforme os cálculos acima.

Passo 6

Script Matlab para calcular automaticamente os valores anteriores (copie/cole no Matlab/Octave).
% Dados
V_AT_line = 13.8e3;    % V (linha AT)
V_BT_line = 0.22e3;    % V (linha BT)
S = 45e3;              % VA (não usado diretamente nos cálculos aqui)
% Ensaio a vazio (no lado BT - estrela)
V_oc_line = 220;       % V (linha)
Ia = 10; Ib = 9.9; Ic = 10.1; % A (correntes de linha)
P_oc = 600;            % W (trifásico)

% Ensaio curto-circuito (valores medidos)
V_sc_line = 690;       % V (linha)
I_sc = 1.88;           % A (corrente de linha)
P_sc = 300;            % W (trifásico)

% Razao de transformacao (linha a linha)
a = V_AT_line / V_BT_line;
a2 = a^2;

% --- Ensaio a vazio (BT lado Y) ---
V_oc_phase = V_oc_line / sqrt(3);         % V fase
P_phase = P_oc / 3;                       % W por fase
I_phase = (Ia + Ib + Ic)/3;               % média das correntes de linha = corrente de fase em Y

R_m_BT = V_oc_phase^2 / P_phase;          % Omega, no lado BT
I_c = P_phase / V_oc_phase;               % componente ativa da corrente por fase
I_m = sqrt(max(I_phase^2 - I_c^2,0));     % corrente magnetizante reativa
X_m_BT = V_oc_phase / I_m;                % Omega

% Referir ao primario (AT)
R_m_AT = R_m_BT * a2;
X_m_AT = X_m_BT * a2;

% --- Ensaio curto-circuito ---
R_eq_phase = P_sc / (3 * I_sc^2);         % Omega (por fase)
V_sc_phase = V_sc_line / sqrt(3);         % V fase (se ensaio no lado Y)
Z_eq_phase = V_sc_phase / I_sc;           % Omega
X_eq_phase = sqrt(max(Z_eq_phase^2 - R_eq_phase^2,0));

% Dividir em R1,R2' e X1,X2' (simetria)
R1 = R_eq_phase / 2;
R2p = R1;
X1 = X_eq_phase / 2;
X2p = X1;

% Mostrar resultados
fprintf('Resultados (referidos ao AT):\n');
fprintf('Rm = %.4e Ohm\n', R_m_AT);
fprintf('Xm = j%.4e Ohm\n', X_m_AT);
fprintf('Req (por fase) = %.4f Ohm\n', R_eq_phase);
fprintf('Xeq (por fase) = j%.4f Ohm\n', X_eq_phase);
fprintf('R1 = R2'' = %.4f Ohm\n', R1);
fprintf('X1 = X2'' = j%.4f Ohm\n', X1);

Resposta

Rm = 3.1740e+05 \Omega ; Xm = j 5.0609e+04 \Omega
Req = 28.2933 \Omega ; Xeq = j 210.0024 \Omega
R1 = R2’ = 14.1467 \Omega ; X1 = X2’ = j 105.0012 \Omega

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