Uma partícula com carga de -5,6 \mathrm{n} C está se movendo em um campo magnético uniforme \vec{B}=-(1,25 T) \hat{k}. A força magnética que atua sobre a partícula é medida como \vec{F}= -\left(3,4 \times 10^{-7} N\right) \hat{\imath}+\left(7,4 \times 10^{-7} N\right) \hat{\jmath}. a) Calcule todos os componentes da velocidade da partícula que puder, a partir dessa informação. b) Há componentes da velocidade que não são determinados pela medição da força? Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de carga \,q=-5,6\times10^{-9}\,\mathrm{C} movendo-se num campo magnético uniforme
\vec B=-(1,25\,\mathrm{T})\hat k=(0,0,-1,25)\,,
sobre a qual age a força
\vec F=-\bigl(3,4\times10^{-7}\bigr)\hat\imath+\bigl(7,4\times10^{-7}\bigr)\hat\jmath\,.
O objetivo é usar a força magnética
\vec F=q\,\vec v\times\vec B
para determinar as componentes de \vec v.

Passo 2

Escrevendo \vec v=(v_x,v_y,v_z) e \vec B=(0,0,-1,25), o produto vetorial é
\vec v\times\vec B =\begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k\\\ v_x & v_y & v_z\\\\ 0 & 0 & -1,25 \end{vmatrix} =-1,25\,v_y\,\hat\imath+1,25\,v_x\,\hat\jmath+0\,\hat k.
Multiplicando por q
\vec F =q\,\bigl(-1,25\,v_y,\,1,25\,v_x,\,0\bigr) =(-1,25\,q\,v_y)\,\hat\imath+(1,25\,q\,v_x)\,\hat\jmath.

Passo 3

Comparando com \vec F=(F_x,F_y,0) e lembrando q=-5,6\times10^{-9}, define-se
F_x=-1,25\,q\,v_y,\quad F_y=1,25\,q\,v_x.
Como 1,25\,q=-7,0\times10^{-9}, obtemos
F_x=7,0\times10^{-9}\,v_y,\quad F_y=-7,0\times10^{-9}\,v_x.
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v_y=\frac{F_x}{7,0\times10^{-9}} =\frac{-3,4\times10^{-7}}{7,0\times10^{-9}} \approx -4,86\times10^{1}\,\mathrm{m/s},
v_x=-\frac{F_y}{7,0\times10^{-9}} =-\frac{7,4\times10^{-7}}{7,0\times10^{-9}} \approx -1,06\times10^{2}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Não há informação sobre v_z porque \vec F não tem componente na direção \hat k e a força magnética é sempre perpendicular a \vec v e a \vec B. Assim, qualquer valor de v_z satisfaz a força medida.

Resposta

v_x\approx -1,06\times10^{2}\,\mathrm{m/s},\quad v_y\approx -4,86\times10^{1}\,\mathrm{m/s},\quad v_z não determinado.

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