15-Engenheiros eletricistas estão avaliando o desempenho de dois modelos de motores elétricos trifásicos usados em uma linha de produção automatizada. Um dos parâmetros mais relevantes é a corrente nominal de operação (em ampères, A), medida em condições semelhantes de carga.
Os dados coletados de testes de laboratório são apresentados a seguir:
Motor A
(Fabricante X)
30 31 40 40 35 39 35
Motor B
(Fabricante Y)
27 28 30 40 31 34 29
a) Calcule a média, a mediana e a moda das correntes medidas para os dois motores juntos.
b) Calcule a média, a mediana e a moda apenas para o Motor A (Fabricante X ).
c) Calcule a média, a mediana e a moda apenas para o Motor B (Fabricante Y).
d) Qual dos motores apresenta maior mediana de corrente nominal?

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras de correntes (em ampères) medidas em laboratório:
  • Motor A (Fabricante X): 30,\;31,\;40,\;40,\;35,\;39,\;35.
  • Motor B (Fabricante Y): 27,\;28,\;30,\;40,\;31,\;34,\;29.
O que é pedido:
a) Calcular a média, a mediana e a moda das correntes medidas para os dois motores juntos (ou seja, a amostra combinada).
b) Calcular a média, a mediana e a moda apenas para o Motor A.
c) Calcular a média, a mediana e a moda apenas para o Motor B.
d) Dizer qual dos motores apresenta maior mediana de corrente nominal.

Passo 2

Resumo das definições e fórmulas (explicadas passo a passo):
  • Média (aritmética): é o valor que se obtém somando todos os elementos e dividindo pelo número de elementos. Se os dados são x_1,x_2,\dots,x_n, então:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Aqui \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são as observações.
  • Mediana: é o valor central da amostra ordenada. Se o número de observações n for ímpar, a mediana é o elemento na posição \frac{n+1}{2}. Se n for par, a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais (posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1) após ordenar os dados em ordem crescente.
  • Moda: é o(s) valor(es) que aparece(m) com maior frequência na amostra. Pode haver uma moda única (unimodal), várias (multimodal) ou nenhuma moda (quando todos os valores aparecem com mesma frequência, às vezes chamada de amodal).
Vou aplicar essas definições passo a passo aos conjuntos dados.

Passo 3

Cálculo detalhado para o Motor A.
Dados do Motor A: 30,\;31,\;40,\;40,\;35,\;39,\;35.
  1. Soma das observações:
30+31+40+40+35+39+35=250.
  1. Número de observações:
n_A=7.
  1. Média do Motor A:
\bar{x}_A=\frac{250}{7}.
Em forma decimal (aproximação):
\bar{x}_A=\frac{250}{7}\approx35,714.
Explanação: dividi a soma 250 pelo número de elementos 7 para obter a média.
  1. Mediana do Motor A:
    Ordenando os valores em ordem crescente:
30,\;31,\;35,\;35,\;39,\;40,\;40.
Como n_A=7 é ímpar, a mediana é o elemento na posição \dfrac{7+1}{2}=\dfrac{8}{2}=4, ou seja, o 4.º elemento da lista ordenada, que é 35.
\text{Mediana}_A=35.
  1. Moda do Motor A:
    Frequências:
  • 35 aparece 2 vezes.
  • 40 aparece 2 vezes.
  • 30,31,39 aparecem 1 vez cada.
Como 35 e 40 têm a maior frequência (2 vezes cada), a amostra é bimodal. Portanto as modos são 35 e 40.

Passo 4

Cálculo detalhado para o Motor B.
Dados do Motor B: 27,\;28,\;30,\;40,\;31,\;34,\;29.
  1. Soma das observações:
27+28+30+40+31+34+29=219.
  1. Número de observações:
n_B=7.
  1. Média do Motor B:
\bar{x}_B=\frac{219}{7}.
Em forma decimal (aproximação):
\bar{x}_B=\frac{219}{7}\approx31,286.
Explanação: somei todos os valores para obter 219 e dividi por 7.
  1. Mediana do Motor B:
    Ordenando os valores em ordem crescente:
27,\;28,\;29,\;30,\;31,\;34,\;40.
Como n_B=7 (ímpar), a mediana é o 4.º elemento da lista ordenada, que é 30.
\text{Mediana}_B=30.
  1. Moda do Motor B:
    Observando as frequências, cada valor aparece uma única vez (não há repetições). Logo não há moda (amodal).
\text{Moda}_B=\text{nenhuma}.

Passo 5

Cálculo detalhado para os dois motores juntos (amostra combinada).
Juntando as duas amostras:
30,\;31,\;40,\;40,\;35,\;39,\;35,\;27,\;28,\;30,\;40,\;31,\;34,\;29.
  1. Soma das observações combinadas:
    Usei explicitamente a soma das duas somas já calculadas:
\text{Soma}_{\text{total}}=250+219=469.
  1. Número total de observações:
n_{\text{total}}=7+7=14.
  1. Média combinada:
\bar{x}_{\text{total}}=\frac{469}{14}.
Fazendo a divisão:
\bar{x}_{\text{total}}=\frac{469}{14}=33,5.
Explicação: somei todos os 14 valores e dividi por 14. A conta dá exatamente 33,5.
  1. Mediana combinada:
    Ordenando todos os 14 valores em ordem crescente (mostrando a ordenação):
27,\;28,\;29,\;30,\;30,\;31,\;31,\;34,\;35,\;35,\;39,\;40,\;40,\;40.
Como n_{\text{total}}=14 é par, a mediana é a média dos elementos nas posições 7 e 8.
O 7.º elemento é 31 e o 8.º é 34. Portanto:
\text{Mediana}_{\text{total}}=\frac{31+34}{2}=\frac{65}{2}=32,5.
  1. Moda combinada:
    Frequências principais observadas:
  • 40 aparece 3 vezes.
  • 30,31,35 aparecem 2 vezes cada.
  • Os demais aparecem 1 vez.
    Logo o valor com maior frequência é 40 (aparece 3 vezes), portanto a moda da amostra combinada é 40.

Passo 6

Comparação das medianas (resposta à questão d).
  • \text{Mediana}_A=35.
  • \text{Mediana}_B=30.
Portanto o Motor A (Fabricante X) apresenta maior mediana de corrente nominal.
Força aí — já fizemos todas as contas passo a passo e agora você tem os valores que precisa memorizar para a prova. Se quiser, eu repito o raciocínio com menos detalhes ou faço um resumo para decorar rápido.

Resposta

(a) Média combinado: \dfrac{469}{14}=33,5; Mediana combinado: \dfrac{31+34}{2}=32,5; Moda combinado: 40.
(b) Motor A — Média: \dfrac{250}{7}\approx35,714; Mediana: 35; Moda: 35 e 40.
(c) Motor B — Média: \dfrac{219}{7}\approx31,286; Mediana: 30; Moda: nenhuma.
(d) Motor com maior mediana: Motor A (Fabricante X) — mediana 35.

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