9- Uma equipe de 6 engenheiros ambientais está realizando um trabalho de campo em uma reserva natural. Após uma jornada de coleta de amostras de solo e água, eles decidem registrar o momento sentando-se em um banco de madeira ecológico (que comporta exatamente 6 pessoas) para uma fotografia de confraternização. O banco é fixo e todos os engenheiros são distintos entre si (diferem por nome, função na equipe, etc.). De quantas maneiras diferentes eles podem se organizar no banco para a foto?

Passo 1

O enunciado nos diz o seguinte:
  • 6 engenheiros ambientais distintos (cada pessoa é diferente).
  • O banco tem exatamente 6 lugares e é fixo (ou seja, os lugares têm posições diferentes, não é um círculo).
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes essas 6 pessoas podem se sentar no banco para a foto?

Passo 2

Ideia básica e definição que vamos usar: quando temos n objetos distintos e queremos arranjá‑los em n posições distintas (cada posição recebe exatamente um objeto), o número de arranjos possíveis é dado pelo fatorial de n, denotado por n!.
Explicando o fatorial de forma bem didática:
  • O fatorial n! é definido como o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1.
  • Aqui a variável n representa o número total de pessoas (ou objetos) distintos que vamos ordenar.
Raciocínio por contagem de escolhas sequenciais (forma direta de pensar na prova):
  • Para o primeiro assento à esquerda (ou um assento específico), podemos escolher qualquer uma das 6 pessoas: 6 opções.
  • Depois que esse assento estiver ocupado, para o segundo assento restam 5 pessoas: 5 opções.
  • Em seguida restam 4, depois 3, depois 2 e por fim 1.
    Multiplicando todas essas opções obtém‑se o número total de arranjos, que é exatamente o fatorial 6!.
Para ficar mais concreto, um exemplo simples com 3 pessoas: o número de maneiras de sentá‑las em 3 lugares distintos é
3! = 3\times2\times1 = 6.
Isso ilustra a ideia das escolhas sequenciais.

Passo 3

Aplicando ao caso com 6 engenheiros:
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1.
Calculemos passo a passo:
6 \times 5 = 30,
30 \times 4 = 120,
120 \times 3 = 360,
360 \times 2 = 720,
720 \times 1 = 720.

Passo 4

Interpretação final: como o banco é fixo e as posições são distintas, cada permutação das 6 pessoas corresponde a uma fotografia diferente. Portanto o total de arranjos possíveis é 6! = 720. Força aí nos estudos — esse tipo de contagem aparece muito e é ótimo treinar o raciocínio sequencial que mostramos.

Resposta

720

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