9- Uma equipe de 6 engenheiros ambientais está realizando um trabalho de campo em uma reserva natural. Após uma jornada de coleta de amostras de solo e água, eles decidem registrar o momento sentando-se em um banco de madeira ecológico (que comporta exatamente 6 pessoas) para uma fotografia de confraternização. O banco é fixo e todos os engenheiros são distintos entre si (diferem por nome, função na equipe, etc.). De quantas maneiras diferentes eles podem se organizar no banco para a foto?
Passo 1
O enunciado nos diz o seguinte:
- Há
engenheiros ambientais distintos (cada pessoa é diferente). - O banco tem exatamente
lugares e é fixo (ou seja, os lugares têm posições diferentes, não é um círculo).
A pergunta é: de quantas maneiras diferentes essaspessoas podem se sentar no banco para a foto?
Passo 2
Ideia básica e definição que vamos usar: quando temos
objetos distintos e queremos arranjá‑los em
posições distintas (cada posição recebe exatamente um objeto), o número de arranjos possíveis é dado pelo fatorial de
, denotado por
.
Explicando o fatorial de forma bem didática:
- O fatorial
é definido como o produto de todos os inteiros positivos de até .
- Aqui a variável
representa o número total de pessoas (ou objetos) distintos que vamos ordenar.
Raciocínio por contagem de escolhas sequenciais (forma direta de pensar na prova):
- Para o primeiro assento à esquerda (ou um assento específico), podemos escolher qualquer uma das
pessoas: opções. - Depois que esse assento estiver ocupado, para o segundo assento restam
pessoas: opções. - Em seguida restam
, depois , depois e por fim .
Multiplicando todas essas opções obtém‑se o número total de arranjos, que é exatamente o fatorial.
Para ficar mais concreto, um exemplo simples com
pessoas: o número de maneiras de sentá‑las em
lugares distintos é
Isso ilustra a ideia das escolhas sequenciais.
Passo 3
Aplicando ao caso com
engenheiros:
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Interpretação final: como o banco é fixo e as posições são distintas, cada permutação das
pessoas corresponde a uma fotografia diferente. Portanto o total de arranjos possíveis é
. Força aí nos estudos — esse tipo de contagem aparece muito e é ótimo treinar o raciocínio sequencial que mostramos.