15 Mostre que a expressão \frac{\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{81}}{\sqrt{2 \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{32}} representa um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{81}}{\sqrt{2 \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{32}}
é um número racional. O conteúdo principal aqui é manipular radicais usando as regras de expoentes e fatorar números em potências de 2 e 3.

Passo 2

Fatoramos dentro das raízes cúbicas do numerador: \sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{2^3\cdot3}=2\cdot3^{1/3} \sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^4}=3^{4/3}=3\cdot3^{1/3}

Passo 3

Substituindo na expressão do numerador, temos
\sqrt[3]{24}-\sqrt[3]{81} =2\cdot3^{1/3}-3\cdot3^{1/3} =(2-3)\,3^{1/3} =-3^{1/3}.

Passo 4

Agora tratamos cada fator do denominador. Primeiro, \sqrt[3]{9}=3^{2/3} \sqrt{2\sqrt[3]{9}} =\sqrt{2\cdot3^{2/3}} =(2\cdot3^{2/3})^{1/2} =2^{1/2}\cdot3^{1/3}.
Em seguida, \sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^{5/2}.

Passo 5

Multiplicando os dois fatores do denominador, fica
\sqrt{2\sqrt[3]{9}}\cdot\sqrt{32} =2^{1/2}\cdot3^{1/3}\cdot2^{5/2} =2^{(1/2+5/2)}\cdot3^{1/3} =2^3\cdot3^{1/3} =8\cdot3^{1/3}.

Passo 6

Por fim, dividindo numerador pelo denominador:
\frac{-3^{1/3}}{8\cdot3^{1/3}} =-\frac{1}{8},
que é um número racional.

Resposta

-\tfrac{1}{8}

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