(15 pontos)
(15 pontos) Esboce a curva com equações paramétricas x=\operatorname{cost}, y=\cos ^{2} t. Explique com detalhes como chegou na curva.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=\cos^{2}t,
e pede que se esboce a curva e se explique detalhadamente como chegou nela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • Para cada t os pontos (x,y) são dados por essas fórmulas.
    Perguntas que devemos responder:
  • Qual é a equação carteseana (eliminando o parâmetro)?
  • Qual o domínio/intervalo dos valores de x e y na curva?
  • Como é a forma geométrica da curva (esboço) e em que direção ela é percorrida conforme t varia?

Passo 2

Eliminar o parâmetro (transformar para uma equação entre x e y).
Da primeira equação temos \cos t = x. Elevando ao quadrado:
\cos^{2}t = x^{2}.
Como y=\cos^{2}t, segue imediatamente
y=x^{2}.
Portanto a curva está contida na parábola padrão y=x^{2}. Explicação do passo: foi usado que \cos t é igual a x, então \cos^{2}t é igual a x^{2} — é a técnica clássica de eliminar parâmetro substituindo expressões.

Passo 3

Determinar o domínio dos pontos da curva (restrições em x e y) usando a parametrização original.
Como x=\cos t e \cos t\in[-1,1] para todo t, concluímos que os pontos da curva têm
-1\le x\le 1.
Como y=x^{2}, isso implica
0\le y\le 1.
Logo a curva é o ramo da parábola y=x^{2} restrita ao intervalo -1\le x\le 1. Em palavras: é a porção da parábola entre os pontos (-1,1) e (1,1), passando pelo vértice (0,0).

Passo 4

Identificar pontos-chave (pegar valores de t simples) para facilitar o esboço:
\begin{aligned} t=0 &\Rightarrow x=\cos 0=1,\quad y=\cos^{2}0=1\quad\text{ponto }(1,1),\\\ t=\tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow x=\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\quad y=\cos^{2}\tfrac{\pi}{2}=0\quad\text{ponto }(0,0),\\\ t=\pi &\Rightarrow x=\cos\pi=-1,\quad y=\cos^{2}\pi=1\quad\text{ponto }(-1,1),\\\ t=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow x=0,\\ y=0\quad\text{(volta ao }(0,0)),\\\ t=2\pi &\Rightarrow x=1,\\ y=1\quad\text{(volta ao }(1,1)). \end{aligned}
Com esses pontos vê-se claramente o segmento da parábola entre (1,1), passando por (0,0), até (-1,1).

Passo 5

Analisar a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando t aumenta).
  • Para t indo de 0 até \pi: x=\cos t decresce de 1 até -1. Assim a curva é percorrida de (1,1) para (-1,1), passando por (0,0).
  • Para t indo de \pi até 2\pi: x volta de -1 para 1, isto é, a mesma porção da parábola é percorrida de volta.
    Portanto, ao variar t de 0 a 2\pi a porção da parábola é traçada duas vezes: primeiro no sentido (1,1)\to(0,0)\to(-1,1) e depois de volta.

Passo 6

Verificar a inclinação (derivada) para ver tangentes e consistência com y=x^{2}.
Cálculo por diferencial das componentes: \dfrac{dx}{dt}=-\sin t e \dfrac{dy}{dt}=-2\cos t\sin t. Quando \sin t\neq0,
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{-2\cos t\sin t}{-\sin t}=2\cos t=2x,
que é exatamente a derivada da parábola y=x^{2} obtida por diferenciação implícita: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Nos pontos onde \sin t=0 (por exemplo t=0,\pi) a razão direta dá 0/0, mas como a relação y=x^{2} vale para toda a curva, podemos usar \dfrac{dy}{dx}=2x também nesses pontos por continuidade. Assim a inclinação no vértice (0,0) é 0 (horizontal) e nas extremidades (\pm1,1) a inclinação é \pm2.

Passo 7

Instrução prática para esboçar (o que desenhar no papel):
  • Desenhe a parábola y=x^{2}.
  • Restrinja-a ao intervalo -1\le x\le 1 (ou seja, a parte entre (-1,1) e (1,1)).
  • Marque os pontos (1,1), (0,0) e (-1,1).
  • Adicione setas indicando a orientação: de (1,1) para (0,0) para (-1,1) quando t vai de 0 a \pi; e setas de retorno para t de \pi a 2\pi.
    Dica de leitura: essa curva é simples — é apenas a parábola padrão recortada — então no controle da prova basta dizer que se elimina o parâmetro e anotar o domínio x\in[-1,1].

Resposta

y=x^{2},\\\ -1\le x\le 1 (porção da parábola entre (-1,1) e (1,1), passando por (0,0)); para t\in[0,\pi] é percorrida de (1,1) a (-1,1) via (0,0), e para t\in[\pi,2\pi] é percorrida de volta.

Exercícios relacionados