(15 pontos)
(15 pontos) Esboce a curva com equações paramétricas
. Explique com detalhes como chegou na curva.
(15 pontos) Esboce a curva com equações paramétricas
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede que se esboce a curva e se explique detalhadamente como chegou nela.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização está definida para todo
. - Para cada
os pontos são dados por essas fórmulas.
Perguntas que devemos responder: - Qual é a equação carteseana (eliminando o parâmetro)?
- Qual o domínio/intervalo dos valores de
e na curva? - Como é a forma geométrica da curva (esboço) e em que direção ela é percorrida conforme
varia?
Passo 2
Eliminar o parâmetro (transformar para uma equação entre
e
).
Da primeira equação temos . Elevando ao quadrado:
Da primeira equação temos
Como
, segue imediatamente
Portanto a curva está contida na parábola padrão
. Explicação do passo: foi usado que
é igual a
, então
é igual a
— é a técnica clássica de eliminar parâmetro substituindo expressões.
Passo 3
Determinar o domínio dos pontos da curva (restrições em
e
) usando a parametrização original.
Como e
para todo
, concluímos que os pontos da curva têm
Como
Como
, isso implica
Logo a curva é o ramo da parábola
restrita ao intervalo
. Em palavras: é a porção da parábola entre os pontos
e
, passando pelo vértice
.
Passo 4
Identificar pontos-chave (pegar valores de
simples) para facilitar o esboço:
Com esses pontos vê-se claramente o segmento da parábola entre
, passando por
, até
.
Passo 5
Analisar a orientação (sentido em que a curva é percorrida quando
aumenta).
- Para
indo de até : decresce de até . Assim a curva é percorrida de para , passando por . - Para
indo de até : volta de para , isto é, a mesma porção da parábola é percorrida de volta.
Portanto, ao variarde a a porção da parábola é traçada duas vezes: primeiro no sentido e depois de volta.
Passo 6
Verificar a inclinação (derivada) para ver tangentes e consistência com
.
Cálculo por diferencial das componentes: e
. Quando
,
Cálculo por diferencial das componentes:
que é exatamente a derivada da parábola
obtida por diferenciação implícita:
. Nos pontos onde
(por exemplo
) a razão direta dá
, mas como a relação
vale para toda a curva, podemos usar
também nesses pontos por continuidade. Assim a inclinação no vértice
é
(horizontal) e nas extremidades
a inclinação é
.
Passo 7
Instrução prática para esboçar (o que desenhar no papel):
- Desenhe a parábola
. - Restrinja-a ao intervalo
(ou seja, a parte entre e ). - Marque os pontos
, e . - Adicione setas indicando a orientação: de
para para quando vai de a ; e setas de retorno para de a .
Dica de leitura: essa curva é simples — é apenas a parábola padrão recortada — então no controle da prova basta dizer que se elimina o parâmetro e anotar o domínio.