(15 pontos)
Encontre os vértices e os focos da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação da elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1
e pede:
  • Encontrar os vértices da elipse;
  • Encontrar os focos da elipse.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Denominadores sob x^{2} e y^{2} são 9 e 16, respectivamente.
  • A elipse está centrada na origem (não há termos em x ou y isolados nem translação).

Passo 2

Lembrete do formato e das definições — vamos mastigar isso com calma.
A forma padrão de uma elipse centrada na origem é uma destas duas (escolhe-se a como semi-eixo maior, isto é, a\ge b):
  • se o eixo maior é horizontal:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
os vértices principais são (\pm a,0) e os focos são (\pm c,0),
  • se o eixo maior é vertical:
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1
os vértices principais são (0,\pm a) e os focos são (0,\pm c).
Aqui:
  • a é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo maior);
  • b é o semi-eixo menor;
  • c é a distância do centro a cada foco;
  • estes parâmetros satisfazem a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Por que vale c^{2}=a^{2}-b^{2}? Explicação curta e direta (útil na prova): para a elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os dois focos é constante e igual a 2a. Tome o ponto (b,0) (que pertence à elipse). As distâncias desse ponto aos focos (0,\pm c) são iguais e valem \sqrt{b^{2}+c^{2}}. A soma dessas duas distâncias é 2\sqrt{b^{2}+c^{2}}, que deve ser igual a 2a. Logo \sqrt{b^{2}+c^{2}}=a, isto é,
a^{2}=b^{2}+c^{2}\quad\Rightarrow\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Compare os denominadores da elipse dada \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
  • Denominador sob x^{2} é 9.
  • Denominador sob y^{2} é 16.
O maior denominador é 16, que está com y^{2}. Isso significa que o semi-eixo maior a corresponde a \sqrt{16} e o eixo maior é vertical. Portanto podemos identificar:
a^{2}=16,\qquad b^{2}=9.
Agora calcule os semi-eixos:
a=\sqrt{16}=4,\qquad b=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Encontrar os vértices (passo a passo e bem mastigado).
Vértices principais (no sentido do eixo maior, que é vertical): são (0,\pm a).
Para ver isso de forma direta: coloque x=0 na equação da elipse e resolva para y:
\frac{0^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{16}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=16,
logo y=\pm 4. Portanto os vértices principais são (0,4) e (0,-4).
Vértices secundários (no sentido do eixo menor, que é horizontal): são (\pm b,0).
Coloque y=0 na equação e resolva para x:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{0^{2}}{16}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9,
logo x=\pm 3. Portanto os vértices no eixo menor são (3,0) e (-3,0).

Passo 5

Calcular os focos usando c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituindo os valores encontrados:
c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-9=7.
Logo
c=\sqrt{7}.
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em (0,\pm c). Portanto os focos são \bigl(0,\sqrt{7}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{7}\bigr).

Resposta

Vértices: (0,4),\\ (0,-4),\\ (3,0),\\ (-3,0)\n
Focos: \bigl(0,\sqrt{7}\bigr),\\ \bigl(0,-\sqrt{7}\bigr)

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