(15 pontos)
Encontre os vértices e os focos da elipse
.
Encontre os vértices e os focos da elipse
Passo 1
O enunciado dá a equação da elipse
e pede:
- Encontrar os vértices da elipse;
- Encontrar os focos da elipse.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Denominadores sob
e são e , respectivamente. - A elipse está centrada na origem (não há termos em
ou isolados nem translação).
Passo 2
Lembrete do formato e das definições — vamos mastigar isso com calma.
A forma padrão de uma elipse centrada na origem é uma destas duas (escolhe-se
como semi-eixo maior, isto é,
):
- se o eixo maior é horizontal:
os vértices principais são
e os focos são
,
- se o eixo maior é vertical:
os vértices principais são
e os focos são
.
Aqui:
-
é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo maior); -
é o semi-eixo menor; -
é a distância do centro a cada foco; - estes parâmetros satisfazem a relação
Por que vale
? Explicação curta e direta (útil na prova): para a elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os dois focos é constante e igual a
. Tome o ponto
(que pertence à elipse). As distâncias desse ponto aos focos
são iguais e valem
. A soma dessas duas distâncias é
, que deve ser igual a
. Logo
, isto é,
Passo 3
Compare os denominadores da elipse dada
.
- Denominador sob
é . - Denominador sob
é .
O maior denominador é
, que está com
. Isso significa que o semi-eixo maior
corresponde a
e o eixo maior é vertical. Portanto podemos identificar:
Agora calcule os semi-eixos:
Passo 4
Encontrar os vértices (passo a passo e bem mastigado).
Vértices principais (no sentido do eixo maior, que é vertical): são
.
Para ver isso de forma direta: coloque na equação da elipse e resolva para
:
Para ver isso de forma direta: coloque
logo
. Portanto os vértices principais são
e
.
Vértices secundários (no sentido do eixo menor, que é horizontal): são
.
Coloque na equação e resolva para
:
Coloque
logo
. Portanto os vértices no eixo menor são
e
.
Passo 5
Calcular os focos usando
.
Substituindo os valores encontrados:
Logo
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
. Portanto os focos são
e
.
Resposta
Vértices:
\n
Focos:
Focos: