(15 pontos)
Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2,0,-4) e cujo vetor normal é j+3 k.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelo ponto (2,0,-4) e cujo vetor normal é \mathbf{j}+3\mathbf{k}.
Informações dadas:
  • Ponto por onde o plano passa: \,(x_0,y_0,z_0)=(2,0,-4).
  • Vetor normal ao plano: \vec{n}=\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
O que precisa ser encontrado: uma equação do tipo padrão que descreva esse plano (uma relação linear entre x,y,z que todo ponto do plano satisfaz).

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito na forma padrão
a x + b y + c z + d = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer direção contida no plano). Se (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano e \vec{n}=(a,b,c) é o normal, então qualquer ponto (x,y,z) do plano satisfaz
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.
Isto é a expressão do fato de que o vetor que liga o ponto dado a um ponto qualquer do plano é ortogonal ao normal. Explicando os termos:
  • \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr) é o produto escalar entre \vec{n} e o vetor diferença (x-x_0,y-y_0,z-z_0).
  • O produto escalar sendo zero significa perpendicularidade.
Desenvolvendo esse produto escalar obtém-se exatamente a forma a x + b y + c z + d = 0, com
d = -(a x_0 + b y_0 + c z_0).

Passo 3

Converter os dados fornecidos para componentes numéricas:
  • O vetor normal dado \vec{n}=\mathbf{j}+3\mathbf{k} corresponde ao vetor em coordenadas:
\vec{n}=(0,1,3).
Isto significa a=0, b=1, c=3.
  • O ponto dado já é (x_0,y_0,z_0)=(2,0,-4).

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar entre \vec{n} e (x-x_0,y-y_0,z-z_0):
(0,1,3)\cdot(x-2,\;y-0,\;z-(-4))=0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
0\cdot(x-2)+1\cdot(y-0)+3\cdot(z+4)=0.

Passo 5

Simplificar a expressão:
0+(y)+3z+12=0,
logo
y+3z+12=0.
Podemos rearranjar se quisermos para uma forma equivalente, por exemplo
y+3z=-12.
Verificação rápida (para ficar seguro): substituir o ponto (2,0,-4) na equação \,y+3z+12=0:
0+3\cdot(-4)+12=0,
ou seja 0-12+12=0, verdade. Portanto a equação está correta.

Resposta

y+3z+12=0

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