(15 pontos)
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e cujo vetor normal é
.
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelo ponto
e cujo vetor normal é
.
Informações dadas:
- Ponto por onde o plano passa:
. - Vetor normal ao plano:
.
O que precisa ser encontrado: uma equação do tipo padrão que descreva esse plano (uma relação linear entre
que todo ponto do plano satisfaz).
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar): um plano em
pode ser escrito na forma padrão
onde
é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer direção contida no plano). Se
é um ponto do plano e
é o normal, então qualquer ponto
do plano satisfaz
Isto é a expressão do fato de que o vetor que liga o ponto dado a um ponto qualquer do plano é ortogonal ao normal. Explicando os termos:
-
é o produto escalar entre e o vetor diferença . - O produto escalar sendo zero significa perpendicularidade.
Desenvolvendo esse produto escalar obtém-se exatamente a forma
, com
Passo 3
Converter os dados fornecidos para componentes numéricas:
- O vetor normal dado
corresponde ao vetor em coordenadas:
Isto significa
,
,
.
- O ponto dado já é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula do produto escalar entre
e
:
Escrevendo coordenada a coordenada:
Passo 5
Simplificar a expressão:
logo
Podemos rearranjar se quisermos para uma forma equivalente, por exemplo
Verificação rápida (para ficar seguro): substituir o ponto
na equação
:
ou seja
, verdade. Portanto a equação está correta.