(15 pontos, 5 cada letra) Dados os vetores
\mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle e \mathbf{b}=\langle-2,3,4\rangle encontre:
2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle e \mathbf{b}=\langle -2,3,4\rangle e pede para encontrar a combinação linear 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}. Ou seja:
  • Dados: \mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle, \mathbf{b}=\langle -2,3,4\rangle.
  • Pedido: calcular 2\mathbf{a}+3\mathbf{b}.

Passo 2

Regra de multiplicação escalar por vetor (o que significa multiplicar por um número): para qualquer escalar \lambda e vetor \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle,
\lambda\mathbf{v}=\langle \lambda v_1,\\ \lambda v_2,\\ \lambda v_3\rangle.
Aqui \lambda é um número (escalar) e v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor \mathbf{v}. A multiplicação escalar atua componente a componente.

Passo 3

Aplicando a regra para 2\mathbf{a} com \mathbf{a}=\langle 3,0,1\rangle:
2\mathbf{a}=\langle 2\cdot 3,\\\ 2\cdot 0,\\\ 2\cdot 1\rangle.
Calculando cada componente:
2\mathbf{a}=\langle 6,\\\ 0,\\\ 2\rangle.

Passo 4

Agora 3\mathbf{b} com \mathbf{b}=\langle -2,3,4\rangle:
3\mathbf{b}=\langle 3\cdot(-2),\\\ 3\cdot 3,\\\ 3\cdot 4\rangle.
Calculando cada componente:
3\mathbf{b}=\langle -6,\\\ 9,\\\ 12\rangle.

Passo 5

Regra de adição de vetores (como somar dois vetores): para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle,
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\langle u_1+v_1,\\ u_2+v_2,\\ u_3+v_3\rangle.
A soma também é componente a componente.

Passo 6

Somando 2\mathbf{a} e 3\mathbf{b} componente a componente:
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\langle 6,\\\ 0,\\\ 2\rangle+\langle -6,\\\ 9,\\\ 12\rangle.
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\langle 6+(-6),\\\ 0+9,\\\ 2+12\rangle.
Calculando:
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\langle 0,\\\ 9,\\\ 14\rangle.

Resposta

\langle 0,9,14\rangle

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