Dizer, em cada item abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa dar um contra-exemplo:
Se a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots=l então a_{1}-l+a_{2}+a_{3}+\cdots=0.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\sum_{k=1}^{\infty} a_k = l,
ou seja, a soma infinita dos termos a_1,a_2,a_3,\ldots converge para um número finito l. A pergunta é: a partir disso, vale que
a_1 - l + a_2 + a_3 + \cdots = 0\; ?
Lista das informações relevantes do enunciado:
  • Foi dado que a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge e tem soma finita l.
  • É pedido verificar se a nova série que tem primeiro termo a_1-l e os demais iguais a a_2,a_3,\ldots tem soma 0.

Passo 2

Vamos traduzir a noção de soma de série em palavras e notação precisas. Defina a sequência dos somatórios parciais
s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1+a_2+\cdots+a_n.
A afirmação \sum_{k=1}^{\infty} a_k = l significa exatamente que
\lim_{n\to\infty} s_n = l.
Agora considere a nova série cuja sequência de termos é b_1=a_1-l e b_k=a_k para k\ge2. Seus somatórios parciais t_n (para n\ge1) são
t_n=\sum_{k=1}^{n} b_k = (a_1-l)+a_2+\cdots+a_n.

Passo 3

Façamos a relação entre t_n e s_n. Começando de s_n,
s_n = a_1+a_2+\cdots+a_n.
Subtraindo l de s_n obtemos
s_n-l = (a_1-l)+a_2+\cdots+a_n = t_n.
Portanto, para todo n\ge1 vale a identidade
t_n = s_n - l.

Passo 4

Agora passemos ao limite quando n\to\infty. Sabendo que \lim_{n\to\infty} s_n = l e que a sequência constante l tem limite l, pela propriedade de linearidade do limite (a diferença de limites é o limite da diferença quando os limites existem) temos
\lim_{n\to\infty} t_n = \lim_{n\to\infty} (s_n-l) = \lim_{n\to\infty} s_n - l = l - l = 0.
Isso mostra que a série cujo primeiro termo é a_1-l e os demais são a_2,a_3,\ldots converge e sua soma é 0. Em outras palavras,
(a_1-l)+a_2+a_3+\cdots = 0.

Passo 5

Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples: tome a série geométrica a_1=1,\;a_2=\tfrac12,\;a_3=\tfrac14,\ldots, que tem soma
\sum_{k=1}^{\infty} a_k = 2.
Aqui l=2. Então a_1-l=1-2=-1 e a nova série é
-1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots.
Os termos a partir de a_2 somam 1, e portanto a soma total é -1+1=0, como a prova geral prevê.

Passo 6

Observação importante (caso de prova/atenção para a prova): a conclusão depende de \sum_{k=1}^{\infty} a_k realmente convergir para um número finito l. Se a série original diverge (por exemplo a_k=1 para todo k, cuja soma diverge), então a hipótese do enunciado não é satisfeita e a afirmação fica fora de escopo. Mas sempre que a hipótese \sum_{k=1}^{\infty} a_k = l com l finito for válida, a igualdade pedida vale.

Resposta

Verdadeira.

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