Dizer, em cada item abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa dar um contra-exemplo:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a informação
ou seja, a soma infinita dos termos
converge para um número finito
. A pergunta é: a partir disso, vale que
Lista das informações relevantes do enunciado:
- Foi dado que a série
converge e tem soma finita . - É pedido verificar se a nova série que tem primeiro termo
e os demais iguais a tem soma .
Passo 2
Vamos traduzir a noção de soma de série em palavras e notação precisas. Defina a sequência dos somatórios parciais
A afirmação
significa exatamente que
Agora considere a nova série cuja sequência de termos é
e
para
. Seus somatórios parciais
(para
) são
Passo 3
Façamos a relação entre
e
. Começando de
,
Subtraindo
de
obtemos
Portanto, para todo
vale a identidade
Passo 4
Agora passemos ao limite quando
. Sabendo que
e que a sequência constante
tem limite
, pela propriedade de linearidade do limite (a diferença de limites é o limite da diferença quando os limites existem) temos
Isso mostra que a série cujo primeiro termo é
e os demais são
converge e sua soma é
. Em outras palavras,
Passo 5
Para fixar a ideia, um exemplo numérico simples: tome a série geométrica
, que tem soma
Aqui
. Então
e a nova série é
Os termos a partir de
somam
, e portanto a soma total é
, como a prova geral prevê.
Passo 6
Observação importante (caso de prova/atenção para a prova): a conclusão depende de
realmente convergir para um número finito
. Se a série original diverge (por exemplo
para todo
, cuja soma diverge), então a hipótese do enunciado não é satisfeita e a afirmação fica fora de escopo. Mas sempre que a hipótese
com
finito for válida, a igualdade pedida vale.
Resposta
Verdadeira.