Dizer, em cada item abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove, se for falsa dar um contra-exemplo:
Nas condições do item b) temos
.
Nas condições do item b) temos
Passo 1
O enunciado que foi enviado é apenas a frase: “Nas condições do item b) temos
.”
O que está faltando (informação necessária):
O que está faltando (informação necessária):
- Não foram fornecidas as “condições do item b)”. Ou seja, não se sabe quais hipóteses estão sendo impostas sobre a sequência
: se são números reais, positivos, uma fórmula explícita, uma relação recursiva, etc. - Sem saber essas hipóteses não está bem definida a afirmação que se pretende verificar.
Portanto, neste passo fica explícito o problema: não há informação suficiente no enunciado recebido para decidir, em geral, se a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Por que a falta das condições impede uma resposta direta? Vou explicar de forma bem prática: uma afirmação sobre a soma de uma série infinita
depende fortemente das propriedades de
. Exemplos de hipóteses típicas que mudam tudo:
- Se a hipótese fosse "
para todo ", então . - Se a hipótese fosse "
", então . - Se a hipótese fosse "
", então a série diverge (não soma nem a nem a outro número finito).
Logo, sem saber exatamente qual é a condição (o “item b)”), não se pode provar nem dar um contra-exemplo definitivo para a afirmação pedida — porque dependendo da condição a afirmação pode ser verdadeira ou falsa.
Agora vou aproveitar para te ensinar duas ferramentas rápidas que aparecem muito em provas, com exemplos concretos para você reconhecer esses casos na hora.
Passo 3
Exemplo (caso em que a afirmação seria verdadeira). Método e prova:
- Considere a sequência definida por
para . Esta é a sequência de termos de uma série geométrica. - Lembrete sobre série geométrica: se
, então . Aqui os índices começam em ; podemos adaptar para começar em . - No nosso caso,
. Aplicando a fórmula (começando em ): - Conclusão: se as “condições do item b)” fossem exatamente
, então a afirmação seria verdadeira e a soma é .
Esse exemplo serve para te lembrar: identificar uma série geométrica e usar a fórmula é um caso que aparece muito e resolve somas como essa rapidamente na prova.
Passo 4
Exemplo (caso em que a afirmação seria falsa). Contra-exemplo e explicação:
- Considere a sequência
para . Esta é uma sequência com termos positivos e a série é convergente, mas a soma é conhecida (série de Basel): que não é igual a . - Portanto, se as “condições do item b)” permitissem
, a afirmação seria falsa e este é um contra-exemplo simples.
Outro contra-exemplo ainda mais direto (telescópico e fácil de calcular): tome
. Então
logo a soma telescopa:
Este último exemplo mostra que existem sequências que fazem a soma exatamente
(telescópicas) e outras que não. Então a propriedade de somar
não é automática sem a condição explícita.
Passo 5
Síntese e guia prática para a prova:
- Sempre leia cuidadosamente quais são as hipóteses sobre
: fórmula explícita, sinal (positivos ou não), monotonia, relação recursiva, condição sobre soma parcial, etc. Essas hipóteses determinam que técnica usar (geométrica, telescópica, comparação, integral, soma conhecida). - Se na prova aparecer uma afirmação do tipo "sob as condições do item b) temos
", verifique: o item b) dá uma expressão explícita para ? dá uma igualdade envolvendo as somas parciais? A resposta dependerá disso. - Para treinar: reconheça séries geométricas, séries telescópicas e séries p (
) — essas três classes resolvem muitos exercícios rápidos.
Resposta
Não é possível afirmar: faltam as condições do item b).