[15 pts] Calcule \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}} d x via substituição trigonométrica.
(Dica: se conveniente utilize os resultados apresentados na Questão 1, sem necessariamente prová-los.)
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx,
ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}. As únicas informações dadas são a expressão do integrando e a dica para usar substituição trigonométrica. Não há outras condições (domínio, constantes) fornecidas.
Passo 2
Motivação da substituição trigonométrica (sem provar formalmente): expressão do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}} costuma ser simplificada com a substituição
Também vou usar x^{2}=4\tan^{2}\theta. Observação sobre domínio: tomo \theta em um intervalo onde \operatorname{sec}\theta>0 para evitar problemas de sinal, e depois as expressões com valor absoluto aparecerão quando necessário.
Preciso então calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar a técnica clássica (multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}):
Note que o numerador é \operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta, que é exatamente a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta, pois
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)'}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Passo 5
Agora calculo \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Uso integração por partes: escrevo \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e tomo
Resumo e verificação rápida (mental): a expressão encontrada é suave para todos x e, se necessário, ao derivar F(x) obtém-se de volta \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}. A constante de integração foi combinada no final.