[15 pts] Calcule \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}} d x via substituição trigonométrica.
(Dica: se conveniente utilize os resultados apresentados na Questão 1, sem necessariamente prová-los.)

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx,
ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}. As únicas informações dadas são a expressão do integrando e a dica para usar substituição trigonométrica. Não há outras condições (domínio, constantes) fornecidas.

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica (sem provar formalmente): expressão do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}} costuma ser simplificada com a substituição
x = a\tan\theta.
Aqui a=2, portanto faço a substituição
x = 2\tan\theta.
Calculo dx e \sqrt{x^{2}+4}:
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}+4} = \sqrt{4\tan^{2}\theta+4}=2\sqrt{\tan^{2}\theta+1}=2\operatorname{sec}\theta.
Também vou usar x^{2}=4\tan^{2}\theta. Observação sobre domínio: tomo \theta em um intervalo onde \operatorname{sec}\theta>0 para evitar problemas de sinal, e depois as expressões com valor absoluto aparecerão quando necessário.

Passo 3

Faço a substituição completa na integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx = \int \frac{4\tan^{2}\theta}{2\operatorname{sec}\theta}\cdot(2\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta.
Simplificando passo a passo:
\frac{4\tan^{2}\theta}{2\operatorname{sec}\theta}\cdot2\operatorname{sec}^{2}\theta =4\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta.
Logo a integral vira
\int 4\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta\,d\theta =4\int \tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Uso a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para escrever
4\int \tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta\,d\theta =4\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\operatorname{sec}\theta\,d\theta =4\int (\operatorname{sec}^{3}\theta-\operatorname{sec}\theta)\,d\theta.

Passo 4

Preciso então calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar a técnica clássica (multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}):
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Note que o numerador é \operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta, que é exatamente a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta, pois
\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta.
Portanto
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)'}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Agora calculo \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Uso integração por partes: escrevo \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e tomo
u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
No integrando aparece \tan^{2}\theta, uso \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Coloco \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta de um lado:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Dividindo por 2 e usando o resultado do Passo 4 para \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta, obtenho
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 6

Volto à combinação que precisamos:
4\int (\operatorname{sec}^{3}\theta-\operatorname{sec}\theta)\,d\theta =4\left(\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta - \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta\right).
Substituo as expressões dos Passos 4 e 5:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C,
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Portanto (ignorando constantes intermediárias que serão combinadas numa constante final),
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta - \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|.
Multiplicando por 4
4\left(\int \operatorname{sec}^{3}\theta - \int \operatorname{sec}\theta\right) = 4\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) =2\operatorname{sec}\theta\tan\theta - 2\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|.

Passo 7

Faço a substituição de volta em função de x. Lembre que defini x=2\tan\theta, logo
\tan\theta=\frac{x}{2}, \qquad \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Calculo \operatorname{sec}\theta\tan\theta:
\operatorname{sec}\theta\tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{4}.
Então
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta=\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Para o logaritmo:
\operatorname{sec}\theta+\tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}+\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}+x}{2}.
Logo
-2\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| =-2\ln\!\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}+x}{2}\right| =-2\ln\!\bigl|\sqrt{x^{2}+4}+x\bigr|+2\ln 2.
A constante 2\ln 2 pode ser absorvida na constante de integração geral. Portanto uma primitiva em termos de x é
F(x)=\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}-2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr| + C,
onde C é a constante de integração final.

Passo 8

Resumo e verificação rápida (mental): a expressão encontrada é suave para todos x e, se necessário, ao derivar F(x) obtém-se de volta \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}. A constante de integração foi combinada no final.

Resposta

\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}-2\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr|+C

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