Dados: a equação com valor absoluto \left|x^{2}-1\right|-2 x=1.
Pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (soluções reais).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: isolar o valor absoluto. Somando 2x em ambos os lados,
\left|x^{2}-1\right|=2x+1.
Importante observar agora uma condição necessária: o lado direito deve ser não-negativo, porque o valor absoluto é sempre \ge0. Logo devemos ter
2x+1\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge -\tfrac{1}{2}.
Qualquer solução tem de satisfazer essa desigualdade; podemos ignorar x<-\tfrac{1}{2} desde já.
Passo 3
Agora usamos a definição de valor absoluto: para qualquer número A\),
\[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
No nosso caso A=x^{2}-1\]. Então precisamos dividir em dois subcasos conforme o sinal de \(x^{2}-1.
As condições em termos de x são:
x^{2}-1\ge0 quando |x|\ge1, isto é x\le-1 ou x\ge1.
x^{2}-1<0 quando |x|<1, isto é -1<x<1.
Lembrando da restrição x\ge -\tfrac{1}{2}, as interseções ficam:
Caso I: x\ge1 (porque x\le-1 não satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}).
Caso II: -\tfrac{1}{2}\le x<1 (parte de -1<x<1 que satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}).
Vamos resolver cada caso separadamente.]
Passo 4
Caso I: x\ge1. Aqui x^{2}-1\ge0, então |x^{2}-1|=x^{2}-1. A equação fica
x^{2}-1=2x+1.
Passos para resolver essa quadrática:
x^{2}-1-2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x-2=0.
Usamos a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são