Resolva
\left|x^{2}-1\right|-2 x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|x^{2}-1\right|-2 x=1.
O que nos deram e o que é pedido:
  • Dados: a equação com valor absoluto \left|x^{2}-1\right|-2 x=1.
  • Pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (soluções reais).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: isolar o valor absoluto. Somando 2x em ambos os lados,
\left|x^{2}-1\right|=2x+1.
Importante observar agora uma condição necessária: o lado direito deve ser não-negativo, porque o valor absoluto é sempre \ge0. Logo devemos ter
2x+1\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge -\tfrac{1}{2}.
Qualquer solução tem de satisfazer essa desigualdade; podemos ignorar x<-\tfrac{1}{2} desde já.

Passo 3

Agora usamos a definição de valor absoluto: para qualquer número A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
No nosso caso A=x^{2}-1\]. Então precisamos dividir em dois subcasos conforme o sinal de \(x^{2}-1.
As condições em termos de x são:
  • x^{2}-1\ge0 quando |x|\ge1, isto é x\le-1 ou x\ge1.
  • x^{2}-1<0 quando |x|<1, isto é -1<x<1.
Lembrando da restrição x\ge -\tfrac{1}{2}, as interseções ficam:
  • Caso I: x\ge1 (porque x\le-1 não satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}).
  • Caso II: -\tfrac{1}{2}\le x<1 (parte de -1<x<1 que satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}).
Vamos resolver cada caso separadamente.]

Passo 4

Caso I: x\ge1. Aqui x^{2}-1\ge0, então |x^{2}-1|=x^{2}-1. A equação fica
x^{2}-1=2x+1.
Passos para resolver essa quadrática:
x^{2}-1-2x-1=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x-2=0.
Usamos a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-2. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12.
Portanto
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Duas raízes: x=1+\sqrt{3} e x=1-\sqrt{3}.
Agora aplicamos a condição do caso x\ge1:
  • x=1+\sqrt{3} é maior que 1, portanto é admissível.
  • x=1-\sqrt{3} é aproximadamente -0,732, menor que 1, não pertence ao intervalo x\ge1. Então descartamos essa raiz neste caso.

Passo 5

Caso II: -\tfrac{1}{2}\le x<1. Aqui x^{2}-1<0, então |x^{2}-1|=-(x^{2}-1)=1-x^{2}. A equação fica
1-x^{2}=2x+1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-x^{2}=2x.
Passando tudo para o mesmo lado:
x^{2}+2x=0.
Fatorando:
x(x+2)=0.
As soluções desta fatorização são x=0 e x=-2. Agora aplicamos a condição do caso -\tfrac{1}{2}\le x<1:
  • x=0 satisfaz -\tfrac{1}{2}\le0<1, então é uma solução válida.
  • x=-2 não satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}, então é descartada.

Passo 6

Checagem rápida das condições que impusemos originalmente:
  • Lembrar que onde isolamos o valor absoluto exigimos 2x+1\ge0. Verificar as soluções encontradas:
    • Para x=0, 2x+1=1\ge0, ok.
    • Para x=1+\sqrt{3}, 2x+1>0, ok.
  • Não há outras interseções ou casos omitidos, pois descartamos todos x<-\tfrac{1}{2} por causa do sinal do lado direito.

Passo 7

Verificação final substituindo na equação original para ter certeza:
  • Para x=0:
\left|0^{2}-1\right|-2\cdot0=| -1 |-0=1,
ok.
  • Para x=1+\sqrt{3}: já que x\ge1, usamos x^{2}-1:
x^{2}=(1+\sqrt{3})^{2}=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3},
|x^{2}-1|-(2x)=(4+2\sqrt{3}-1)-2(1+\sqrt{3})=(3+2\sqrt{3})-(2+2\sqrt{3})=1,
ok.

Resposta

x=0
x=1+\sqrt{3}

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