Considere a equação diferencial
x \frac{d y}{d x}+y=2 x
(a) Verifique que a equação dada é uma equação linear.
(b) Usando o método para equações lineares, resolva a equação diferencial considerando a condição inicial y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x \frac{d y}{d x}+y=2 x
e pede duas coisas:
  • (a) verificar que a equação é linear;
  • (b) resolver a equação usando o método para equações lineares, impondo a condição inicial \,y(1)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve a derivada \dfrac{dy}{dx}, a função y e o termo dependente em x.
  • Há uma condição inicial em x=1, portanto podemos trabalhar no intervalo que contém x=1 (ou seja, x\neq0 não é problema aqui).
  • Não foram dadas mais restrições; considerar x em um intervalo onde a divisão por x faz sentido (por exemplo x>0, já que a condição inicial está em 1).

Passo 2

Mostrar que a equação é linear: primeira ideia — escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
Forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Uma equação é chamada de linear (na variável y) quando aparece y e \dfrac{dy}{dx} com coeficientes que dependem apenas de x, e y não aparece em potências, produtos com \dfrac{dy}{dx}, etc.
A equação dada é x\frac{dy}{dx} + y = 2x.
Dividindo ambos os lados por x (válido para x\neq0) obtemos a forma padrão:
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = 2.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=2, que dependem apenas de x. Logo a equação é linear de primeira ordem. Isso responde (a).

Passo 3

Método de resolução — integrating factor (fator integrante). Explicação didática do método:
Para uma equação linear de primeira ordem na forma \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
O motivo: multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x),
e a escolha de \mu faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y, isto é
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big) = \mu(x)Q(x).
A partir daí integra-se e resolve-se para y.
No nosso caso, P(x)=\dfrac{1}{x}. Então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos tomar \mu(x)=x no intervalo onde x>0. (Se estivéssemos no intervalo x<0 usaríamos \mu(x)=-x, mas o procedimento é análogo; escolher \mu(x)=x é natural para x>0.)

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x. Começando da forma padrão
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = 2,
multiplicando por x obtemos
x\frac{dy}{dx} + y = 2x.
(Repare que voltamos à equação original — isto confirma a consistência.) Agora escrever o lado esquerdo como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\,y\big) = x\frac{dy}{dx} + y.
Portanto a equação pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\big(x\,y\big) = 2x.

Passo 5

Integrar ambos os lados com respeito a x. Da equação
\frac{d}{dx}\big(x\,y\big) = 2x
segue
\int \frac{d}{dx}\big(x\,y\big)\,dx = \int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x\,y. A integral do lado direito é
\int 2x\,dx = x^{2} + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos a relação
x\,y = x^{2} + C.

Passo 6

Isolar y. Dividindo por x (novamente válido para x\neq0, e em particular para x>0):
y(x) = x + \frac{C}{x}.
Isto é a solução geral da equação linear no intervalo onde tratamos \mu(x)=x.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \,y(1)=0 para determinar C.
Substituir x=1 e y(1)=0 em \,y=x+\dfrac{C}{x}:
0 = 1 + \frac{C}{1} \quad\Rightarrow\quad C = -1.

Passo 8

Escrever a solução particular final, com domínio compatível com a condição inicial.
Com C=-1 obtemos
y(x) = x - \frac{1}{x},
válida para x>0 (pelo uso de \mu(x)=x e pela condição inicial em x=1). Essa é a solução da parte (b).
Força aí — deu trabalho, mas agora tem o passo a passo completo para repetir esse método na prova!

Resposta

(a) \displaystyle\text{Sim. Reescrevendo, }\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=2, que é da forma linear \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
(b) \displaystyle y(x)=x-\frac{1}{x} (para x>0).

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