Considere a equação diferencial
(a) Verifique que a equação dada é uma equação linear.
(b) Usando o método para equações lineares, resolva a equação diferencial considerando a condição inicial
.
(b) Usando o método para equações lineares, resolva a equação diferencial considerando a condição inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) verificar que a equação é linear;
- (b) resolver a equação usando o método para equações lineares, impondo a condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve a derivada
, a função e o termo dependente em . - Há uma condição inicial em
, portanto podemos trabalhar no intervalo que contém (ou seja, não é problema aqui). - Não foram dadas mais restrições; considerar
em um intervalo onde a divisão por faz sentido (por exemplo , já que a condição inicial está em ).
Passo 2
Mostrar que a equação é linear: primeira ideia — escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
Forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde
e
são funções conhecidas de
. Uma equação é chamada de linear (na variável
) quando aparece
e
com coeficientes que dependem apenas de
, e
não aparece em potências, produtos com
, etc.
A equação dada é
Dividindo ambos os lados por
(válido para
) obtemos a forma padrão:
Aqui
e
, que dependem apenas de
. Logo a equação é linear de primeira ordem. Isso responde (a).
Passo 3
Método de resolução — integrating factor (fator integrante). Explicação didática do método:
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
define-se o fator integrante
por
O motivo: multiplicando a equação por
obtemos
e a escolha de
faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto
, isto é
A partir daí integra-se e resolve-se para
.
No nosso caso,
. Então o fator integrante é
Como a condição inicial está em
, podemos tomar
no intervalo onde
. (Se estivéssemos no intervalo
usaríamos
, mas o procedimento é análogo; escolher
é natural para
.)
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Começando da forma padrão
multiplicando por
obtemos
(Repare que voltamos à equação original — isto confirma a consistência.) Agora escrever o lado esquerdo como derivada do produto:
Portanto a equação pode ser reescrita como
Passo 5
Integrar ambos os lados com respeito a
. Da equação
segue
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a relação
Passo 6
Isolar
. Dividindo por
(novamente válido para
, e em particular para
):
Isto é a solução geral da equação linear no intervalo onde tratamos
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substituir
e
em
:
Passo 8
Escrever a solução particular final, com domínio compatível com a condição inicial.
Com
obtemos
válida para
(pelo uso de
e pela condição inicial em
). Essa é a solução da parte (b).
Força aí — deu trabalho, mas agora tem o passo a passo completo para repetir esse método na prova!
Resposta
(a)
, que é da forma linear
(b) (para
).
(b)