(15 pts) Encontre todos os pontos da curv f(x)=\frac{x^{3}}{3}+2 x^{2}+3 x+1 nos quais a ret tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
f(x)=\tfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}+3x+1
onde a reta tangente é horizontal. Isso significa encontrar os pontos em que a derivada de f é zero, ou seja, calcular f'(x), resolver f'(x)=0 e, em seguida, obter as ordenadas y=f(x) nesses valores de x.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando as regras de diferenciação termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)+\frac{d}{dx}(2x^{2})+\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}(1)
f'(x)=x^{2}+4x+3.

Passo 3

Para que a reta tangente seja horizontal, precisamos de
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+4x+3=0.
Esse é um polinômio quadrático que fatoramos:
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)=0
Logo as soluções são
x=-1 \quad\text{e}\quad x=-3.

Passo 4

Agora determinamos as imagens y=f(x) em cada um desses x.
Para x=-1:
f(-1)=\tfrac{(-1)^{3}}{3}+2(-1)^{2}+3(-1)+1 =-\tfrac{1}{3}+2-3+1 =-\tfrac{1}{3}.
Para x=-3:
f(-3)=\tfrac{(-3)^{3}}{3}+2(-3)^{2}+3(-3)+1 =-9+18-9+1 =1.

Resposta

Os pontos onde a tangente é horizontal são
(-1,\,-\tfrac{1}{3}) \quad\text{e}\quad (-3,\,1).

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