(10 pts) Explique, com suas palavras, o significado da seguinte afirmação:
\lim _{x \rightarrow 5} f(x)=3
(a) A função f precisa estar definida em x=5 ?
(b) É possivel que f(5) \neq 3 ? Justifique com um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para explicar, em linguagem própria, o que significa
\lim_{x\to5}f(x)=3
e, em seguida, responder duas perguntas:
(a) se a função f precisa estar definida em x=5;
(b) se é possível ter f(5)\neq3, dando um exemplo. Para isso, vamos usar as ideias básicas de limite e continuidade.

Passo 2

A afirmação
\lim_{x\to5}f(x)=3
quer dizer que, à medida que x se aproxima de 5 (mas não necessariamente valendo exatamente 5), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 3. Formalmente, para qualquer tolerância \varepsilon>0 existe um intervalo em torno de 5, digamos (5-\delta,5+\delta), tal que sempre que 0<|x-5|<\delta temos
|f(x)-3|<\varepsilon.

Passo 3

Não. A definição de limite envolve apenas os valores de f(x) quando x está perto de 5, mas diferente de 5. Logo, f não precisa estar definida em x=5 para que o limite exista.

Passo 4

Sim. Mesmo que
\lim_{x\to5}f(x)=3,
pode acontecer de f(5)\) ser outro valor ou até nem estar definido. Por exemplo, defina \[f(x)= \begin{cases} 3, & x\neq5,\\\\ 0, & x=5. \end{cases}
Nesse caso, sempre que x\] se aproxima de \(5 (com x\neq5), temos f(x)=3 e então
\lim_{x\to5}f(x)=3,
porém f(5)=0\neq3.

Resposta

(a) Não, f não precisa estar definida em x=5.
(b) Sim. Por exemplo, f(x)=3 para x\neq5 e f(5)=0 satisfaz \lim_{x\to5}f(x)=3 mas f(5)\neq3.

Exercícios relacionados