(10 pts) Explique, com suas palavras, o significado da seguinte afirmação:
(a) A função
precisa estar definida em
?
(b) É possivel que
? Justifique com um exemplo.
(b) É possivel que
Passo 1
O enunciado pede para explicar, em linguagem própria, o que significa
e, em seguida, responder duas perguntas:
(a) se a função precisa estar definida em
;
(b) se é possível ter , dando um exemplo. Para isso, vamos usar as ideias básicas de limite e continuidade.
(a) se a função
(b) se é possível ter
Passo 2
A afirmação
quer dizer que, à medida que
se aproxima de
(mas não necessariamente valendo exatamente
), os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para qualquer tolerância
existe um intervalo em torno de
, digamos
, tal que sempre que
temos
Passo 3
Não. A definição de limite envolve apenas os valores de
quando
está perto de
, mas diferente de
. Logo,
não precisa estar definida em
para que o limite exista.
Passo 4
Sim. Mesmo que
pode acontecer de
Nesse caso, sempre que
(com
), temos
e então
porém
.
Resposta
(a) Não,
não precisa estar definida em
.
(b) Sim. Por exemplo, para
e
satisfaz
mas
.
(b) Sim. Por exemplo,