(10 pts) A função f\) está definida por: \[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-16}{x-4}, & \text { se } x \neq 4 \\\ k, & \text { se } x=4\end{cases}
Determine o valor de k\] para que \(f(x) seja contínua em x=4. \mathrm{K}=6

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^{2}-16}{x-4}, & \text{se }x\neq4,\\\ k, & \text{se }x=4, \end{cases}
e pede o valor de k para que f seja contínua em x=4. O conceito que vamos usar é que uma função é contínua em x=4 se
\lim_{x\to4}f(x)=f(4)=k.

Passo 2

Para calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to4}\frac{x^{2}-16}{x-4}, fatoramos o numerador:
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
Logo, para x\neq4,
\frac{x^{2}-16}{x-4}=x+4.
Portanto
\lim_{x\to4}\frac{x^{2}-16}{x-4} =\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8.

Passo 3

Para que f seja contínua em x=4, precisamos de
k=\lim_{x\to4}f(x)=8.

Resposta

k=8

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