(15 pts.) Quando precisamos utilizar a noção de tensores covariantes e contravariantes, devemos ter atenção na notação para a multiplicação interna. Suponha que T_{i j} é tensor covariante de ordem 2 , v^{j} é tensor contravariante de ordem 1 e v_{j} é tensor covariante de ordem 1 . Mostre que:
(a) \omega_{i} é tensor covariante de ordem 1 se
\omega_{i}=T_{i j} v^{j}
(b) \omega_{i} não é tensor covariante de ordem 1 se
\omega_{i}=T_{i j} v_{j}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • T_{ij} é um tensor covariante de ordem 2 (ou seja, tem dois índices baixos).
    • v^{j} é um tensor contravariante de ordem 1 (índice alto).
    • v_{j} é um tensor covariante de ordem 1 (índice baixo).
  • Perguntas:
    • (a) Mostrar que \omega_{i} definido por \displaystyle \omega_{i}=T_{i j} v^{j} é tensor covariante de ordem 1.
    • (b) Mostrar que \omega_{i} definido por \displaystyle \omega_{i}=T_{i j} v_{j} não é, em geral, tensor covariante de ordem 1.
Aqui estão exatamente os dados que usarei na resolução; a partir deles vou aplicar as regras de transformação de componentes para provar (a) e (b).

Passo 2

Vou lembrar e explicar as regras de transformação (essas são as ferramentas principais; sem elas não dá para provar nada).
  • Transformação de coordenadas. Se mudamos de coordenadas x^{k} para x'^{i} (função suave e invertível), as derivadas parciais formam as matrizes de transformação (Jacobian). Vou usar:
    \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}.
    Essas matrizes são inversas uma da outra, no sentido de composição:
    \frac{\partial x^{l}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}}=\delta^{l}{}_{m},
    onde \delta^{l}{}_{m} é o delta de Kronecker (igual a 1 se l=m e 0 caso contrário). Isso é apenas a regra da cadeia.
  • Regra de transformação de um vetor contravariante. Se v^{j} é um vetor contravariante, suas componentes na nova base são
    v'^{i}=\frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}\,v^{j}.
    Interpretação: componentes com índice alto “transformam com” a derivada de x' em relação a x.
  • Regra de transformação de um vetor covariante (covector). Se w_{j} é covetor, então
    w'_{i}=\frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}\,w_{j}.
    Interpretação: índices baixos “transformam com” a derivada inversa \partial x/\partial x'.
  • Regra de transformação de um tensor covariante de ordem 2. Para T_{ij} covariante de ordem 2:
    T'_{ij}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\,T_{k\ell}.
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos, um acima e um abaixo, significam soma. Ex.: T_{ij}v^{j} soma sobre j.
Vou usar essas regras substituindo componentes primadas e não-primadas para verificar se o objeto transformado satisfaz a regra de covetor (ou não).

Passo 3

Prova do item (a): \displaystyle \omega_{i}=T_{i j} v^{j}.
Queremos verificar que \omega_{i} transforma como um covetor, isto é, que
\omega'_{i}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,\omega_{k}.
Começo aplicando as regras de transformação a cada fator da expressão \omega_{i}=T_{i j} v^{j}.
  • A componente transformada de T_{ij} é T'_{ij}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\,T_{k\ell}.
  • A componente transformada de v^{j} (contravariante) é v'^{\,j}=\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}}\,v^{m}.
Agora a componente \omega'_{i} na nova base é a contração
\omega'_{i}=T'_{ij}\,v'^{\,j}.
Substituindo as expressões acima:
\omega'_{i} =\left(\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\,T_{k\ell}\right) \left(\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}}\,v^{m}\right).
Reagrupando os fatores escalares (essas derivadas são números dependendo da transformação) e usando a associatividade da multiplicação:
\omega'_{i} =\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}} \left(\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}}\right) T_{k\ell}\,v^{m}.
Agora uso a identidade da cadeia (produto das jacobianas inversas) dentro do parêntese:
\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}}=\delta^{\ell}{}_{m}.
Aplicando isso:
\omega'_{i} =\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,\delta^{\ell}{}_{m}\,T_{k\ell}\,v^{m}.
Contraindo \delta^{\ell}{}_{m} substitui \ell por m:
\omega'_{i} =\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,T_{k m}\,v^{m}.
Mas T_{k m}v^{m}=\omega_{k} pela definição original (com índices não-primados), logo
\omega'_{i}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,\omega_{k}.
Isso é precisamente a regra de transformação de um covetor. Portanto \omega_{i}=T_{ij}v^{j} é um tensor covariante de ordem 1. (Intuição: somar um índice alto com um índice baixo “cancela” as jacobianas inversas e diretas por cadeia.)

Passo 4

Prova do item (b): \displaystyle \omega_{i}=T_{i j} v_{j}.
Agora v_{j} é um covetor, então sua transformação é
v'_{j}=\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}}\,v_{m}.
Repetindo o mesmo procedimento, a componente transformada \omega'_{i} é
\omega'_{i}=T'_{ij}\,v'_{j} =\left(\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\,T_{k\ell}\right) \left(\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}}\,v_{m}\right).
Agrupando:
\omega'_{i} =\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}} \left(\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}}\right) T_{k\ell}\,v_{m}.
Observe o parêntese com produto das duas derivadas em que o índice primado j aparece em ambas: \displaystyle \frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}}. Diferentemente do caso anterior, aqui não aparece a combinação \frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x'^{j}}{\partial x^{m}} que seria igual a \delta^{\ell}{}_{m}. Em vez disso temos um produto das mesmas derivadas com o mesmo índice de soma em baixo em ambas: isso, em geral, não simplifica para um delta e produz um fator adicional que depende da transformação de coordenadas e mistura os índices \ell e m.
Escrevendo explicitamente:
\omega'_{i}=\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,\Bigg(\sum_{j}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}}\Bigg)\,T_{k\ell}\,v_{m}.
Não existe, em geral, nenhuma identidade que reduza \sum_{j}\frac{\partial x^{\ell}}{\partial x'^{j}}\frac{\partial x^{m}}{\partial x'^{j}} a \delta^{\ell}{}_{m}. Portanto não podemos extrair o fator \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}} multiplicando simplesmente \omega_{k}=T_{k\ell}v_{\ell}, isto é, em geral
\omega'_{i}\neq\frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}}\,\omega_{k}.
Conseqüência lógica: a combinação T_{ij}v_{j} não transforma, em geral, como um covetor. Logo \omega_{i}=T_{ij}v_{j} não é um tensor covariante de ordem 1, salvo em casos muito especiais de transformação (por exemplo transformações ortogonais em que certas propriedades adicionais ocorrem) ou se houver estruturas extras (uma métrica para subir/baixar índices) que não foram dadas no enunciado.
Intuição curta e prática: para contrair corretamente os índices você sempre precisa contrair um índice alto com um índice baixo. Em (a) isso acontece explicitamente ( T_{ij} tem um índice baixo j que contrapõe o índice alto j de v^{j}), e as jacobianas se cancelam. Em (b) você está tentando contrair dois índices baixos ( j em T_{ij} e j em v_{j}) sem “levantar” um deles; em geometria de tensores isso exige usar uma métrica para subir um índice antes de contrair, e sem essa operação a combinação não tem a transformação correta.

Resposta

(a) \omega_{i}=T_{i j} v^{j} é tensor covariante de ordem 1.
(b) \omega_{i}=T_{i j} v_{j} não é, em geral, tensor covariante de ordem 1.

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