Suponha uma transformação de bases
\left\{\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}\right\} \rightarrow\left\{\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}\right\} :
\left\{\begin{array}{c} \hat{e}_{1}=3 \hat{x}_{1}+\hat{x}_{2} \\ \hat{e}_{2}=\hat{x}_{1}-\hat{x}_{2} \end{array}\right.
Ache a transformação do vetor \vec{a}=a_{1} \hat{x}_{1}+a_{2} \hat{x}_{2} por substituição direta

Passo 1

O enunciado dá a mudança de base e pede para transformar o vetor por substituição direta. Informações fornecidas:
\hat{e}_{1}=3\hat{x}_{1}+\hat{x}_{2}, \qquad \hat{e}_{2}=\hat{x}_{1}-\hat{x}_{2}
e o vetor
\vec{a}=a_{1}\hat{x}_{1}+a_{2}\hat{x}_{2}.
A pergunta implícita é: encontrar as coordenadas de \vec{a} na base \{\hat{e}_{1},\hat{e}_{2}\}, ou seja achar b_{1},b_{2} tais que
\vec{a}=b_{1}\hat{e}_{1}+b_{2}\hat{e}_{2}.

Passo 2

Vamos traduzir a relação entre bases em forma matricial. Escrevendo as coordenadas das \hat{e} em relação à base \{\hat{x}_{1},\hat{x}_{2}\}, cada \hat{e}_{i} vira uma coluna:
P=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
onde a primeira coluna \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} são as coordenadas de \hat{e}_{1} em \{\hat{x}\} e a segunda coluna \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} são as coordenadas de \hat{e}_{2} em \{\hat{x}\}.
Seja \mathbf{a}_{x}=\begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]a_{2}\end{pmatrix} o vetor de coordenadas de \vec{a} na base \{\hat{x}\} e \mathbf{a}_{e}=\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix} suas coordenadas na base \{\hat{e}\}. A relação matricial é
\mathbf{a}_{x}=P\,\mathbf{a}_{e}.]

Passo 3

Para encontrar \mathbf{a}_{e} fazemos a inversa:
\mathbf{a}_{e}=P^{-1}\mathbf{a}_{x}.
Então precisamos calcular P^{-1}. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc seja diferente de zero. Vou aplicar essa fórmula em P.]

Passo 4

Calcule o determinante de P:
\det(P)=3\cdot(-1)-1\cdot1=-3-1=-4.
Como \det(P)=-4\neq0, P é invertível e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa à matriz P obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]1/4 & -3/4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplicamos P^{-1} pelo vetor \mathbf{a}_{x}=\begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]a_{2}\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]1/4 & -3/4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]a_{2}\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
b_{1}=\tfrac{1}{4}a_{1}+\tfrac{1}{4}a_{2}=\frac{a_{1}+a_{2}}{4},
b_{2}=\tfrac{1}{4}a_{1}-\tfrac{3}{4}a_{2}=\frac{a_{1}-3a_{2}}{4}.]

Passo 7

Portanto a expressão do vetor \vec{a} na base \{\hat{e}_{1},\hat{e}_{2}\} é
\vec{a}=b_{1}\hat{e}_{1}+b_{2}\hat{e}_{2} =\frac{a_{1}+a_{2}}{4}\,\hat{e}_{1}+\frac{a_{1}-3a_{2}}{4}\,\hat{e}_{2}.
Se quiser conferir na prova, você pode expandir esta combinação usando \hat{e}_{1}=3\hat{x}_{1}+\hat{x}_{2} e \hat{e}_{2}=\hat{x}_{1}-\hat{x}_{2} e verificar que volta para a_{1}\hat{x}_{1}+a_{2}\hat{x}_{2}.

Resposta

\displaystyle \vec{a}=\frac{a_{1}+a_{2}}{4}\,\hat{e}_{1}+\frac{a_{1}-3a_{2}}{4}\,\hat{e}_{2}

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