Suponha uma transformação de bases
:
Ache a transformação do vetor
por substituição direta
Passo 1
O enunciado dá a mudança de base e pede para transformar o vetor por substituição direta. Informações fornecidas:
e o vetor
A pergunta implícita é: encontrar as coordenadas de
na base
, ou seja achar
tais que
Passo 2
Vamos traduzir a relação entre bases em forma matricial. Escrevendo as coordenadas das
em relação à base
, cada
vira uma coluna:
onde a primeira coluna
são as coordenadas de
em
e a segunda coluna
são as coordenadas de
em
.
Seja
o vetor de coordenadas de
na base
e
suas coordenadas na base
. A relação matricial é
Passo 3
Para encontrar
fazemos a inversa:
Então precisamos calcular
. Para uma matriz
desde que o determinante
seja diferente de zero. Vou aplicar essa fórmula em
.]
Passo 4
Calcule o determinante de
:
Como
,
é invertível e podemos usar a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Aplicando a fórmula da inversa à matriz
obtemos
Passo 6
Agora multiplicamos
pelo vetor
:
Calculando componente a componente:
Passo 7
Portanto a expressão do vetor
na base
é
Se quiser conferir na prova, você pode expandir esta combinação usando
e
e verificar que volta para
.