(10 pts.) Suponha que exista uma transformação entre as coordenadas cartesianas \left\{x^{i}\right\} para as coordenadas curvilíneas \left\{u^{i}\right\}. (a) Utilizando a notação de índices, mostre que o quadrado do elemento de arco d s^{2} pode ser escrito no sistema \left\{u^{i}\right\} como:
d s^{2}=g_{i j} d u^{i} d u^{j}, \quad g_{i j}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}} \frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}
(b) Se a base de \left\{u^{i}\right\} é \left\{\hat{e}_{i}\right\}, mostre que g_{i j} também pode ser definido como g_{i j}=\hat{e}_{i} \cdot \hat{e}_{j}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação dada: existe uma transformação entre coordenadas cartesianas \{x^{i}\} e coordenadas curvilíneas \{u^{i}\}. Também existe a base da coordenada \{u^{i}\}, denotada por \{\hat{e}_{i}\}.
  • Pergunta (a): mostrar que o quadrado do elemento de arco pode ser escrito como
d s^{2}=g_{i j}\,d u^{i}\,d u^{j}, \qquad g_{i j}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}.
  • Pergunta (b): mostrar que, se \{\hat{e}_{i}\} é a base natural das coordenadas \{u^{i}\}, então
g_{i j}=\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j}.
Essas são as duas metas. A partir do Passo 2 eu começo a desenvolver a demonstração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, escrevo a relação diferencial entre dx^{k} e du^{i} usando a regra da cadeia (essa é uma identidade direta da transformação de coordenadas). Como cada coordenada cartesiana x^{k} é função das coordenadas curvilíneas u^{i}, temos:
dx^{k}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\,du^{i}.
Aqui estou usando a convenção de soma de Einstein: índices repetidos em posição alta/baixa implicam soma sobre esse índice (por exemplo, soma em i de 1 até n). Vou explicar sempre o significado dos símbolos: \partial x^{k}/\partial u^{i} é a derivada parcial da função x^{k}(u^{1},u^{2},\dots) em relação a u^{i}.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas ortonormais (o caso usual em espaço euclidiano) o quadrado do elemento de arco é
d s^{2}=dx^{k}\,dx^{k},
que também pode ser escrito com o delta de Kronecker como
d s^{2}=\delta_{kl}\,dx^{k}\,dx^{l}.
Aqui \delta_{kl} é a matriz identidade (igual a 1 se k=l e 0 caso contrário), e a expressão significa a soma \sum_{k} (dx^{k})^{2}.

Passo 4

Agora substituo a expressão de dx^{k} do Passo 2 na expressão do Passo 3. Primeiro, escrevo explicitamente:
d s^{2}=dx^{k}\,dx^{k}=\left(\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\,du^{i}\right)\left(\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}\,du^{j}\right).
Como a multiplicação é comutativa e os du^{i} são diferenciais, reorganizo:
d s^{2}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}\,du^{i}\,du^{j}.
Aqui o índice k aparece repetido apenas nas derivadas e é somado (produto escalar das componentes). Pelo enunciado, podemos definir então
g_{i j}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}},
de modo que obtemos exatamente
d s^{2}=g_{i j}\,du^{i}\,du^{j}.
Observações didáticas rápidas: a métrica g_{ij} é simétrica porque trocar i e j troca apenas os fatores multiplicativos, logo g_{ij}=g_{ji}. Essa é a demonstração formal da parte (a).

Passo 5

Para a parte (b) eu apresento o significado geométrico da base natural \{\hat{e}_{i}\} das coordenadas \{u^{i}\}. Seja \mathbf{r} o vetor posição expresso nas coordenadas cartesianas:
\mathbf{r}=x^{k}(u)\,\hat{e}_{k}^{(\text{cart})},
onde \hat{e}_{k}^{(\text{cart})} é a base cartesiana ortonormal fixa. A base natural (ou covariante) associada às coordenadas u^{i} é definida por derivação parcial do vetor posição:
\hat{e}_{i}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u^{i}}.

Passo 6

Agora expando \hat{e}_{i} na base cartesiana. Como \mathbf{r}=x^{k}(u)\,\hat{e}_{k}^{(\text{cart})}, derivando:
\hat{e}_{i}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u^{i}}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\,\hat{e}_{k}^{(\text{cart})}.
Do mesmo modo,
\hat{e}_{j}=\frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}}\,\hat{e}_{l}^{(\text{cart})}.
Agora faço o produto escalar entre \hat{e}_{i} e \hat{e}_{j}. Usando bilinearidade do produto escalar e sabendo que a base cartesiana é ortonormal (ou seja \hat{e}_{k}^{(\text{cart})}\cdot\hat{e}_{l}^{(\text{cart})}=\delta_{kl}), obtenho:
\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j} =\left(\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\,\hat{e}_{k}^{(\text{cart})}\right)\cdot\left(\frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}}\,\hat{e}_{l}^{(\text{cart})}\right) =\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}}\left(\hat{e}_{k}^{(\text{cart})}\cdot\hat{e}_{l}^{(\text{cart})}\right).

Passo 7

Utilizando \hat{e}_{k}^{(\text{cart})}\cdot\hat{e}_{l}^{(\text{cart})}=\delta_{kl} na expressão do Passo 6, simplifico:
\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j} =\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{l}}{\partial u^{j}}\,\delta_{kl} =\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}.
Comparando com a definição de g_{ij} do Passo 4, vemos que
g_{ij}=\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j}.
Isso conclui a demonstração da parte (b): as componentes da métrica são exatamente os produtos escalares das direções coordenadas.

Passo 8

Para fixar a ideia com um exemplo curto (útil para prova): em coordenadas polares no plano, x^{1}=r\cos\theta, x^{2}=r\sin\theta. Calculando \partial x^{k}/\partial u^{i} e aplicando a fórmula dá g_{rr}=1, g_{r\theta}=0, g_{\theta\theta}=r^{2}, que é a métrica clássica ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta^{2}. Esse exemplo mostra como aplicar na prática a fórmula que demonstramos.

Resposta

(a) d s^{2}=g_{i j}\,d u^{i}\,d u^{j},\qquad g_{i j}=\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{i}}\frac{\partial x^{k}}{\partial u^{j}}
(b) g_{i j}=\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j}

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