(10 pts.) Suponha que exista uma transformação entre as coordenadas cartesianas
para as coordenadas curvilíneas
. (a) Utilizando a notação de índices, mostre que o quadrado do elemento de arco
pode ser escrito no sistema
como:
(b) Se a base de
é
, mostre que
também pode ser definido como
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação dada: existe uma transformação entre coordenadas cartesianas
e coordenadas curvilíneas . Também existe a base da coordenada , denotada por . - Pergunta (a): mostrar que o quadrado do elemento de arco pode ser escrito como
- Pergunta (b): mostrar que, se
é a base natural das coordenadas , então
Essas são as duas metas. A partir do Passo 2 eu começo a desenvolver a demonstração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, escrevo a relação diferencial entre
e
usando a regra da cadeia (essa é uma identidade direta da transformação de coordenadas). Como cada coordenada cartesiana
é função das coordenadas curvilíneas
, temos:
Aqui estou usando a convenção de soma de Einstein: índices repetidos em posição alta/baixa implicam soma sobre esse índice (por exemplo, soma em
de
até
). Vou explicar sempre o significado dos símbolos:
é a derivada parcial da função
em relação a
.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas ortonormais (o caso usual em espaço euclidiano) o quadrado do elemento de arco é
que também pode ser escrito com o delta de Kronecker como
Aqui
é a matriz identidade (igual a
se
e
caso contrário), e a expressão significa a soma
.
Passo 4
Agora substituo a expressão de
do Passo 2 na expressão do Passo 3. Primeiro, escrevo explicitamente:
Como a multiplicação é comutativa e os
são diferenciais, reorganizo:
Aqui o índice
aparece repetido apenas nas derivadas e é somado (produto escalar das componentes). Pelo enunciado, podemos definir então
de modo que obtemos exatamente
Observações didáticas rápidas: a métrica
é simétrica porque trocar
e
troca apenas os fatores multiplicativos, logo
. Essa é a demonstração formal da parte (a).
Passo 5
Para a parte (b) eu apresento o significado geométrico da base natural
das coordenadas
. Seja
o vetor posição expresso nas coordenadas cartesianas:
onde
é a base cartesiana ortonormal fixa. A base natural (ou covariante) associada às coordenadas
é definida por derivação parcial do vetor posição:
Passo 6
Agora expando
na base cartesiana. Como
, derivando:
Do mesmo modo,
Agora faço o produto escalar entre
e
. Usando bilinearidade do produto escalar e sabendo que a base cartesiana é ortonormal (ou seja
), obtenho:
Passo 7
Utilizando
na expressão do Passo 6, simplifico:
Comparando com a definição de
do Passo 4, vemos que
Isso conclui a demonstração da parte (b): as componentes da métrica são exatamente os produtos escalares das direções coordenadas.
Passo 8
Para fixar a ideia com um exemplo curto (útil para prova): em coordenadas polares no plano,
,
. Calculando
e aplicando a fórmula dá
,
,
, que é a métrica clássica
. Esse exemplo mostra como aplicar na prática a fórmula que demonstramos.
Resposta
(a)
(b)