(15 pts.) Calcule as coordenadas do polinômio
p(t)=1+3 t-9 t^{2}+4 t^{3}
com relação à base
\mathcal{B}=\left\langle(1-t)^{3}, 3(1-t)^{2} t, 3(1-t) t^{2}, t^{3}\right\rangle \subset \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(t)=1+3t-9t^{2}+4t^{3}
e a base \mathcal{B} formada pelos quatro vetores
(1-t)^{3},\qquad 3(1-t)^{2}t,\qquad 3(1-t)t^{2},\qquad t^{3}.
O que se pede: encontrar as coordenadas de p(t) em relação a \mathcal{B}; isto é, achar escalares \,c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\, tais que
p(t)=c_{0}(1-t)^{3}+c_{1}\,3(1-t)^{2}t+c_{2}\,3(1-t)t^{2}+c_{3}t^{3},
e apresentar o vetor de coordenadas \big(c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\big) na ordem da base.

Passo 2

Estratégia (explicada devagar): como \mathcal{B} tem quatro polinômios de grau ≤3 e esses polinômios são linearmente independentes, toda combinação linear deles expressa unicamente qualquer polinômio de grau ≤3. Então vou:
  • escrever cada elemento de \mathcal{B} na forma de monômios 1,t,t^{2},t^{3} (expandir);
  • somar com coeficientes c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} e comparar termo a termo com p(t);
  • resolver o sistema linear obtido para c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}.
Observação didática curta: “coordenadas” de p na base \mathcal{B} são exatamente os coeficientes dessa combinação linear. Igualando os coeficientes dos monômios estamos usando que \{1,t,t^{2},t^{3}\} também é uma base — daí a comparação termo a termo faz sentido.

Passo 3

Expandir cada elemento de \mathcal{B} em monômios.
Calculemos (1-t)^{3}:
(1-t)^{3}=1-3t+3t^{2}-t^{3}.
Calculemos 3(1-t)^{2}t. Primeiro (1-t)^{2}=1-2t+t^{2}. Então
3(1-t)^{2}t=3t(1-2t+t^{2})=3t-6t^{2}+3t^{3}.
Calculemos 3(1-t)t^{2}. Primeiro (1-t)t^{2}=t^{2}-t^{3}. Então
3(1-t)t^{2}=3t^{2}-3t^{3}.
E por fim t^{3} já está em monômios:
t^{3}=t^{3}.

Passo 4

Agora escrevemos a combinação linear com incógnitas c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} e somamos os monômios correspondentes.
\begin{aligned} c_{0}(1-t)^{3}&+c_{1}\,3(1-t)^{2}t+c_{2}\,3(1-t)t^{2}+c_{3}t^{3}=\\\ &=c_{0}(1-3t+3t^{2}-t^{3})+c_{1}(3t-6t^{2}+3t^{3})+c_{2}(3t^{2}-3t^{3})+c_{3}t^{3}. \end{aligned}
Agora juntamos os coeficientes de cada monômio 1,t,t^{2},t^{3}:
  • Coeficiente do termo constante 1: \;c_{0}.
  • Coeficiente de t: \;-3c_{0}+3c_{1}.
  • Coeficiente de t^{2}: \;3c_{0}-6c_{1}+3c_{2}.
  • Coeficiente de t^{3}: \;-c_{0}+3c_{1}-3c_{2}+c_{3}.
Esses devem coincidir com os coeficientes de p(t)=1+3t-9t^{2}+4t^{3}. Logo obtemos o sistema:
\begin{cases} c_{0}=1,\\[4pt] -3c_{0}+3c_{1}=3,\\[4pt] 3c_{0}-6c_{1}+3c_{2}=-9,\\[4pt] -c_{0}+3c_{1}-3c_{2}+c_{3}=4. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (bastante direto).
Da primeira equação:
c_{0}=1.
Substituindo em -3c_{0}+3c_{1}=3:
-3\cdot 1 +3c_{1}=3 \quad\Rightarrow\quad -3+3c_{1}=3 \quad\Rightarrow\quad 3c_{1}=6 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=2.
Substituindo c_{0}=1 e c_{1}=2 em 3c_{0}-6c_{1}+3c_{2}=-9:
3\cdot 1 -6\cdot 2 +3c_{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad 3-12+3c_{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad -9+3c_{2}=-9,
logo 3c_{2}=0 e então
c_{2}=0.
Finalmente, na equação do coeficiente de t^{3}:
-c_{0}+3c_{1}-3c_{2}+c_{3}=4.
Substituindo c_{0}=1, c_{1}=2, c_{2}=0:
-1+3\cdot 2 -0 + c_{3}=4 \quad\Rightarrow\quad -1+6 + c_{3}=4 \quad\Rightarrow\quad 5 + c_{3}=4,
logo
c_{3}=-1.
Portanto os coeficientes (coordenadas) são
c_{0}=1,\qquad c_{1}=2,\qquad c_{2}=0,\qquad c_{3}=-1.

Passo 6

Verificação rápida (satisfazendo e dando confiança): recompondo
1\cdot(1-t)^{3}+2\cdot 3(1-t)^{2}t+0\cdot 3(1-t)t^{2}+(-1)\cdot t^{3},
ao expandir dá de volta 1+3t-9t^{2}+4t^{3}. Assim estamos corretos.

Resposta

\,(1,2,0,-1)

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