e apresentar o vetor de coordenadas \big(c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\big) na ordem da base.
Passo 2
Estratégia (explicada devagar): como \mathcal{B} tem quatro polinômios de grau ≤3 e esses polinômios são linearmente independentes, toda combinação linear deles expressa unicamente qualquer polinômio de grau ≤3. Então vou:
escrever cada elemento de \mathcal{B} na forma de monômios 1,t,t^{2},t^{3} (expandir);
somar com coeficientes c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} e comparar termo a termo com p(t);
resolver o sistema linear obtido para c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}.
Observação didática curta: “coordenadas” de p na base \mathcal{B} são exatamente os coeficientes dessa combinação linear. Igualando os coeficientes dos monômios estamos usando que \{1,t,t^{2},t^{3}\} também é uma base — daí a comparação termo a termo faz sentido.
Passo 3
Expandir cada elemento de \mathcal{B} em monômios.
Calculemos (1-t)^{3}:
(1-t)^{3}=1-3t+3t^{2}-t^{3}.
Calculemos 3(1-t)^{2}t. Primeiro (1-t)^{2}=1-2t+t^{2}. Então
3(1-t)^{2}t=3t(1-2t+t^{2})=3t-6t^{2}+3t^{3}.
Calculemos 3(1-t)t^{2}. Primeiro (1-t)t^{2}=t^{2}-t^{3}. Então
3(1-t)t^{2}=3t^{2}-3t^{3}.
E por fim t^{3} já está em monômios:
t^{3}=t^{3}.
Passo 4
Agora escrevemos a combinação linear com incógnitas c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} e somamos os monômios correspondentes.