(20 pts.) O subespaço
pode ser descrito também como
para certos valores de
e
. Determine
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
ou seja,
é o subespaço gerado pelos vetores
e
.
Também nos diz que pode ser descrito na forma
Também nos diz que
para certos
. A pergunta explícita é determinar o valor da expressão
Passo 2
Observação importante (fato usado na resolução): como
é gerado por dois vetores que passam pela origem,
é um plano que contém a origem. Um plano que passa pela origem pode ser escrito como
onde
é um vetor normal ao plano e
denota o produto escalar. Em coordenadas, a equação do plano será
Isso significa já de início que o termo
deve ser
(porque o plano contém a origem
). Portanto vamos determinar um vetor normal
ortogonal a
e a
.
Passo 3
Para encontrar um vetor normal a dois vetores em
usamos o produto vetorial (cross product). O produto vetorial
é um vetor perpendicular a ambos
e
. A fórmula componente a componente, para
e
, é
Aplicando com
e
calculamos cada componente:
Assim
Passo 4
Usamos
como vetor normal. A equação do plano é
Podemos multiplicar a equação por
para ficar com coeficientes positivos:
Portanto uma escolha conveniente é
(Observação: qualquer múltiplo escalar de
define a mesma equação; a razão pedida será a mesma para qualquer escalação não-nula porque
.)
Passo 5
Calculemos a razão pedida com os valores escolhidos:
Resposta
3