(20 pts.) O subespaço
U=[(-3,1,1),(2,2,-1)] \subset \mathbb{R}^{3}
pode ser descrito também como
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; a x+b y+c z=d\right\}
para certos valores de a, b, c e d. Determine
\frac{b+c}{a+d}
\frac{b+c}{a+d}=

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
U=[(-3,1,1),(2,2,-1)]\subset\mathbb{R}^3,
ou seja, U é o subespaço gerado pelos vetores \,v_1 = (-3,1,1)\, e \,v_2=(2,2,-1)\,.
Também nos diz que U pode ser descrito na forma
U=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ a x+b y+c z=d\right\}
para certos a,b,c,d. A pergunta explícita é determinar o valor da expressão
\frac{b+c}{a+d}.

Passo 2

Observação importante (fato usado na resolução): como U é gerado por dois vetores que passam pela origem, U é um plano que contém a origem. Um plano que passa pela origem pode ser escrito como
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\; \langle n,(x,y,z)\rangle = 0\},
onde n=(a,b,c) é um vetor normal ao plano e \langle \cdot,\cdot\rangle denota o produto escalar. Em coordenadas, a equação do plano será
a x + b y + c z = 0.
Isso significa já de início que o termo d deve ser 0 (porque o plano contém a origem (0,0,0)). Portanto vamos determinar um vetor normal n=(a,b,c) ortogonal a v_1 e a v_2.

Passo 3

Para encontrar um vetor normal a dois vetores em \mathbb{R}^3 usamos o produto vetorial (cross product). O produto vetorial v_1\times v_2 é um vetor perpendicular a ambos v_1 e v_2. A fórmula componente a componente, para v_1=(v_{1x},v_{1y},v_{1z}) e v_2=(v_{2x},v_{2y},v_{2z}), é
v_1\times v_2=\bigl(v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y},\; v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z},\; v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x}\bigr).
Aplicando com v_1=(-3,1,1) e v_2=(2,2,-1) calculamos cada componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp.} &= v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y} = 1\cdot(-1)-1\cdot 2 = -1-2 = -3,\\[4pt] \text{2ª comp.} &= v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z} = 1\cdot 2 - (-3)\cdot(-1) = 2 - 3 = -1,\\[4pt] \text{3ª comp.} &= v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x} = (-3)\cdot 2 - 1\cdot 2 = -6 - 2 = -8. \end{aligned}ªªª
Assim
v_1\times v_2 = (-3,\,-1,\,-8).]

Passo 4

Usamos n=v_1\times v_2 como vetor normal. A equação do plano é
-3x - y -8z = 0.
Podemos multiplicar a equação por -1 para ficar com coeficientes positivos:
3x + y + 8z = 0.
Portanto uma escolha conveniente é
a=3,\qquad b=1,\qquad c=8,\qquad d=0.
(Observação: qualquer múltiplo escalar de (a,b,c,d) define a mesma equação; a razão pedida será a mesma para qualquer escalação não-nula porque d=0.)

Passo 5

Calculemos a razão pedida com os valores escolhidos:
\frac{b+c}{a+d}=\frac{1+8}{3+0}=\frac{9}{3}=3.

Resposta

3

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