1.15 Sabe-se que dois observáveis
e
, que não envolvem o tempo explicitamente, não comutam,
mas, ainda assim, sabemos também que
e
comutam com o Hamiltoniano:
Prove que os autoestados de energia são, em geral, degenerados. Há exceçães? Como exemplo você pode pensar do problema de força central
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido, com todas as informações relevantes explícitas:
- Dado que dois observáveis (operadores) satisfazem
e também onde é o Hamiltoniano (não depende explicitamente do tempo). - Pergunta principal: mostrar que os autoestados de energia são, em geral, degenerados (ou seja, existe ao menos um nível de energia com multiplicidade maior que
). - Pergunta secundária: há exceções a essa conclusão? Dê exemplo aplicado ao caso do potencial central
com e .
Passo 2
Definições e conceitos fundamentais que vamos usar (explicados com calma):
- Definição de autoestado de energia: um vetor
tal que onde é o autovalor (energia). Um nível de energia é degenerado se o espaço de autovetores com energia tem dimensão maior que (isto é, existem duas ou mais vetores linearmente independentes com o mesmo ). - Definição de comutador: para dois operadores
e , Se dizemos que e comutam. - Propriedade importante (que usaremos): se
, então transforma autovetores de em autovetores de com o mesmo autovalor (ou em 0). Vou provar isso no passo seguinte de forma direta.
Passo 3
Mostro por que
implica que
preserva espaços próprios de
(isto é, mapeia autovetores de
em autovetores com a mesma energia):
Seja
tal que
. Então, usando
,
Logo
é também um autovetor de
com a mesma energia
(ou é o vetor nulo). Em palavras:
não leva um autovetor de
para uma energia diferente — ele age dentro do subespaço próprio associado a
.
Passo 4
Estratégia de prova por contradição e aplicação prática: suponha que todos os níveis de energia sejam não degenerados (dimensão
para cada espaço próprio). Vou mostrar que isso leva a
, contradizendo a hipótese dada
.
Hipótese de contradição: para todo autovalor
de
o espaço próprio é unidimensional, isto é, há (até escala) um único
.
Pela propriedade do passo anterior, para cada
existe um número complexo (autovalor efetivo dependente de
) tal que
porque o subespaço próprio é só a linha gerada por
, então qualquer vetor que lá caia deve ser proporcional a
. Isto significa que
é autovetor simultâneo de
e
(com autovalores
e
).
Passo 5
Com as relações do passo anterior, calculamos a ação do comutador
sobre um autovetor de energia arbitrário
:
Como
são escalares:
Portanto
para todo autovetor
de
.
Se a hipótese de espaços próprios unidimensionais vale para todos os autovalores e os autovetores de
formam uma base completa (caso usual em sistemas ligados com espectro discreto), então
anula toda a base e assim é o operador nulo:
o que contradiz a hipótese inicial
.
Passo 6
Conclusão lógica: a suposição de que todos os níveis de energia são não degenerados leva a contradição. Logo, a hipótese deve ser falsa: existe pelo menos um autovalor
tal que o espaço próprio tem dimensão maior que
. Em palavras simples: existem autoestados de energia degenerados.
Esta é a demonstração clássica: dois operadores que comutam com o Hamiltoniano geram simetrias que preservam espaços de energia; se dois desses operadores não comutam entre si, então não é possível diagonalizá‑los simultaneamente na mesma base de autovetores de
, o que exige que ao menos alguns espaços próprios de
tenham dimensão maior que
.
Passo 7
Comentário sobre exceções e sutilezas (matemática e física), com linguagem simples:
- Exceções práticas: a prova assume que o conjunto de autovetores de
forma uma base (ou seja, espectro com autovetores completos, típico de espectros discretos). Se o sistema tiver apenas espectro contínuo ou problemas de domínio dos operadores (operadores não essencialmente autoadjuntos, questões técnicas com espaços de Hilbert), a argumentação precisa ser tratada com mais cuidado; nesses casos a noção de degenerescência precisa ser formulada via decomposição espectral e ainda assim a ideia permanece: não comutar globalmente implica existência de subespaços próprios não triviais. Em resumo: existem “casos patológicos” matemáticos, mas fisicamente relevantes a conclusão costuma valer. - Exceção física simples: pode acontecer que, para um certo nível de energia
, os autores de e atuem de forma trivial (por exemplo ambos agem como múltiplos escalares naquele subespaço específico), de modo que naquele nível específico não haja degenerescência associada a eles. Mas a hipótese garante que nem todos os subespaços próprios podem ser assim simultaneamente; portanto SOME nível deve ser degenerado. - Em resumo: não há contradição com a possibilidade de alguns níveis serem não degenerados — a conclusão é apenas que, dado
e , deve existir pelo menos um nível degenerado. Patologias matemáticas (espectro contínuo, domínio, etc.) são as únicas “exceções formais” que exigem tratamento técnico.
Passo 8
Aplicação ao exemplo do potencial central
com
e
:
- O Hamiltoniano do potencial central é invariante por rotações, então cada componente do momento angular satisfaz
Essa igualdade decorre do fato de que rotações são simetrias de quando depende só de . - Sabemos também que as componentes do momento angular não comutam entre si; por exemplo
- Aplicando o argumento geral, concluímos que o Hamiltoniano do potencial central tem, em geral, níveis de energia degenerados: para cada valor de
(autovalor de ) há estados com diferentes (autovalores de ) que têm a mesma energia quando depende só de . Em particular, para há degenerescência em . - Caso particular: para
(estados ) o subespaço angular tem dimensão , então não há degenerescência em (apenas ). Isso não contradiz o resultado geral: ele garante apenas que existe ao menos um nível degenerado em algum lugar do espectro — no potencial central costuma haver degenerescência associada aos diferentes sempre que .
Resposta
Sim — em geral existem níveis de energia degenerados; sob as hipóteses
e
ao menos um autovalor de
tem multiplicidade maior que
.
Exceções formais: casos patológicos (espectro puramente contínuo, problemas de domínio dos operadores) exigem cuidado técnico; em modelos físicos usuais a conclusão vale.
Exemplo: para com
temos
e
, portanto há degenerescência em
para
(para
não há degenerescência em
).
Exceções formais: casos patológicos (espectro puramente contínuo, problemas de domínio dos operadores) exigem cuidado técnico; em modelos físicos usuais a conclusão vale.
Exemplo: para