Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
\int_{e}^{\infty} \frac{d x}{x \ln x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x}
é convergente. Se for convergente, devemos também calcular o seu valor. Informações dadas que são relevantes: o intervalo de integração é [e,\infty) (ou seja, o limite superior é infinito) e a função integranda é \dfrac{1}{x\ln x}. Não há singularidade no limite inferior porque \ln e=1 é finito.

Passo 2

Explicação sobre integrais impróprias: quando um dos limites de integração é infinito, definimos a integral imprópria como um limite de integrais propriamente definidas. Ou seja,
\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty} \int_{e}^{b} \frac{dx}{x\ln x}.
A integral é convergente se e somente se esse limite existir e for finito. Nosso trabalho é calcular a integral definida \int_{e}^{b}\frac{dx}{x\ln x} em função de b e depois estudar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Vamos calcular uma primitiva de \dfrac{1}{x\ln x}. Use a substituição
u=\ln x.
Expliquei por que: a presença de \ln x no denominador sugere substituir por u para simplificar. Agora calcule du:
du=\frac{1}{x}\,dx.
Isso significa que
\frac{dx}{x\ln x}=\frac{du}{u}.
Portanto a integral indefinida é
\int \frac{dx}{x\ln x}=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.
Voltando à variável original x, obtemos uma primitiva
\boxed{\ln(\ln x)+C.}
Observação: para x>1 (no nosso caso x\ge e) temos \ln x>0, então \ln|\ln x|=\ln(\ln x).

Passo 4

Agora calcule a integral definida de e até b>e usando a primitiva:
\int_{e}^{b}\frac{dx}{x\ln x}=\left[\ln(\ln x)\right]_{x=e}^{x=b}=\ln(\ln b)-\ln(\ln e).
Como \ln e=1 temos \ln(\ln e)=\ln 1=0. Logo
\int_{e}^{b}\frac{dx}{x\ln x}=\ln(\ln b).
Expliquei cada substituição: primeiro encontrei a primitiva, depois avaliei nos limites; até aqui tudo é exato para qualquer b>e.

Passo 5

Agora estudamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\ln(\ln b).
Sabemos que \ln b\to\infty quando b\to\infty. Aplicando a função \ln novamente, um valor que tende a +\infty submetido ao \ln também tende a +\infty (apesar de muito lentamente). Portanto
\lim_{b\to\infty}\ln(\ln b)=+\infty.
Como o limite é infinito, a integral imprópria não converge para um número finito — ela diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão e intuição: a integral não é convergente porque sua primitiva avaliada no infinito cresce sem limite. Intuitivamente, mesmo sendo a função \dfrac{1}{x\ln x} pequena para x grande, sua “decadência” não é suficientemente rápida para produzir um área finita no intervalo [e,\infty); o acúmulo da área faz a integral divergir (cresce como \ln(\ln x)).

Resposta

A integral diverge (diverge para +\infty).

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