Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente. Se for convergente, devemos também calcular o seu valor. Informações dadas que são relevantes: o intervalo de integração é
(ou seja, o limite superior é infinito) e a função integranda é
. Não há singularidade no limite inferior porque
é finito.
Passo 2
Explicação sobre integrais impróprias: quando um dos limites de integração é infinito, definimos a integral imprópria como um limite de integrais propriamente definidas. Ou seja,
A integral é convergente se e somente se esse limite existir e for finito. Nosso trabalho é calcular a integral definida
em função de
e depois estudar o limite quando
.
Passo 3
Vamos calcular uma primitiva de
. Use a substituição
Expliquei por que: a presença de
no denominador sugere substituir por
para simplificar. Agora calcule
:
Isso significa que
Portanto a integral indefinida é
Voltando à variável original
, obtemos uma primitiva
Observação: para
(no nosso caso
) temos
, então
.
Passo 4
Agora calcule a integral definida de
até
usando a primitiva:
Como
temos
. Logo
Expliquei cada substituição: primeiro encontrei a primitiva, depois avaliei nos limites; até aqui tudo é exato para qualquer
.
Passo 5
Agora estudamos o limite quando
:
Sabemos que
quando
. Aplicando a função
novamente, um valor que tende a
submetido ao
também tende a
(apesar de muito lentamente). Portanto
Como o limite é infinito, a integral imprópria não converge para um número finito — ela diverge para
.
Passo 6
Conclusão e intuição: a integral não é convergente porque sua primitiva avaliada no infinito cresce sem limite. Intuitivamente, mesmo sendo a função
pequena para
grande, sua “decadência” não é suficientemente rápida para produzir um área finita no intervalo
; o acúmulo da área faz a integral divergir (cresce como
).
Resposta
A integral diverge (diverge para
).